Inégalité d'observabilité du type logarithmique et estimation de la fonction de coût des solutions des équations hyperboliques

Leila Ouksel

ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations (2008)

  • Volume: 14, Issue: 2, page 318-342
  • ISSN: 1292-8119

Abstract

top
This work proposes a logarithmic estimation of the initial values of the solution u of a hyperbolic problem, with Neumann boundary conditions, using the trace of u restricted to the neighbourhood of the boundary, during a time sufficiently large for estimating the cost function of the problem.

How to cite

top

Ouksel, Leila. "Inégalité d'observabilité du type logarithmique et estimation de la fonction de coût des solutions des équations hyperboliques." ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations 14.2 (2008): 318-342. <http://eudml.org/doc/250313>.

@article{Ouksel2008,
abstract = { Dans ce travail, nous donnons une estimation logarithmique des données de la solution u, d'un problème hyperbolique avec condition aux limites de type Neumann, par la trace de u restreinte à un ouvert du bord, pendant un temps suffisamment grand qui nous permet d'estimer la fonction de coût de ce problème. },
author = {Ouksel, Leila},
journal = {ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations},
keywords = {Problème hyberbolique; contrôle; fonction de coût; inégalité de Carleman; Carleman inequality; estimation of the initial values; Neumann boundary conditions},
language = {fre},
month = {3},
number = {2},
pages = {318-342},
publisher = {EDP Sciences},
title = {Inégalité d'observabilité du type logarithmique et estimation de la fonction de coût des solutions des équations hyperboliques},
url = {http://eudml.org/doc/250313},
volume = {14},
year = {2008},
}

TY - JOUR
AU - Ouksel, Leila
TI - Inégalité d'observabilité du type logarithmique et estimation de la fonction de coût des solutions des équations hyperboliques
JO - ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations
DA - 2008/3//
PB - EDP Sciences
VL - 14
IS - 2
SP - 318
EP - 342
AB - Dans ce travail, nous donnons une estimation logarithmique des données de la solution u, d'un problème hyperbolique avec condition aux limites de type Neumann, par la trace de u restreinte à un ouvert du bord, pendant un temps suffisamment grand qui nous permet d'estimer la fonction de coût de ce problème.
LA - fre
KW - Problème hyberbolique; contrôle; fonction de coût; inégalité de Carleman; Carleman inequality; estimation of the initial values; Neumann boundary conditions
UR - http://eudml.org/doc/250313
ER -

References

top
  1. S. Alinhac, Non unicité du problème de Cauchy. Ann. Math117 (1983) 77–108.  Zbl0516.35018
  2. S. Alinhac and M.S. Baouendi, A non uniqueness result for operators of principal type. Math. Z220 (1995) 561–568.  Zbl0851.35003
  3. H. Bahouri, Dépendence non linéaire des données de Cauchy pour des solutions des équations aux dérivées partielles. J. Math. Pures. Appl66 (1987) 127–138.  Zbl0565.35009
  4. C. Bardos, G. Lebeau and J. Rauch, Sharp sufficient conditions for the observation, control and stabilization of waves from the boundary. SIAM J. Control Optim30 (1992) 1024–1065.  Zbl0786.93009
  5. N. Burq, Contrôle de l'équation des plaques en présence d'obstacles strictement convexes. Mém. Soc. Math. France (N. S.)55, Marseilles (1993).  Zbl0768.93040
  6. T. Duyckaerts, Optimal decay rates of the energy of an hyperbolic-parabolic system coupled by an interface. European Union Projects “Smart System” (2002).  
  7. T. Duyckaerts, Xu Zhang and E. Zuazua, On the optimality of the observability inequality for parabolic and hyperbolic systems with potentials. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire (to appear).  Zbl1248.93031
  8. C. Fabre, Résultats de contrôlabilité exacte interne pour l'équation de Schrödinger et leurs limites asymptotiques : Application à certaines équations de plaques vibrantes. Asym. Anal5 (1992) 343–379.  Zbl0745.93005
  9. E. Fernandez-Cara and E. Zuazua, The cost of approximate controllability for heat equations: The linear case. Adv. Diff. Equa5 (2000) 465–514.  Zbl1007.93034
  10. A.V. Fursikov and O. Yu Imanivilov, Controllability of evolution equations. Lect. Notes Ser34, Seoul National University, Research Institute of Mathematics, Global Analysis Research Center, Seoul (1996).  
  11. L. Hörmander, Linear partiel differential operators. Springer-Verlag, Berlin (1963).  Zbl0108.09301
  12. L. Hörmander, On the uniqueness of the Cauchy problem under partial analyticity asumptions. Springer-Verlag (1996).  
  13. V.-M. Isakov, On the uniquenss of the solution of the Cauchy problem. Sov. Math. Dokl22 (1980) 639–642.  Zbl0468.35030
  14. F. John, Continous dependence on data for solution of partial differential equations with prescribed bound. Comm. Pure. Appl. Math17 (1960) 551–585.  Zbl0097.08101
  15. I. Lasiecka and R. Triggiani, Optimal regularity, exact controllability and uniform stabilisation of Schrödinger equation with Dirichlet control. Diff. Integral. Equa5 (1992) 521–535.  Zbl0784.93032
  16. G. Lebeau, Contrôle de l'équation de Schrödinger. J. Math. Pures. Appl71 (1992) 267–291.  Zbl0838.35013
  17. G. Lebeau, Contrôle analytique I : estimation a priori. Duk. Math. J68 (1992) 1–30.  Zbl0780.93053
  18. G. Lebeau et L. Robbiano, Contrôle exacte de l'équation de la chaleur. Comm Partial. Diff. Equa20 (1995) 335–356.  
  19. G. Lebeau et L. Robbiano, Stabilisation de l'équation des ondes par le bord Duk. Math. J.86 (1997) 465–491.  
  20. J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation des systèmes distribués. Masson Collection, RMA, Paris (1988).  Zbl0653.93002
  21. J.-L. Lions et E. Magenes, Problèmes aux limites non homogènes et applications. Vol. 1, Dunod, Paris (1968).  Zbl0165.10801
  22. E. Machtyngier, Exact controllability for Schrödinger equation. SIAM J. Control. Optim32 (1994) 24–34.  Zbl0795.93018
  23. L. Miller, Geometric bounds on the growth rate of null-controllability cost of the heat equation in small time. J. Diff. Eq.2004 (2004) 202–226.  Zbl1053.93010
  24. L. Miller, On the null-controllability of the heat equation in unbounded domains. Bull. Sci. Math129 (2005) 175–185.  Zbl1079.35018
  25. K.-D. Phung, Observability and control of Schrödinger equation. SIAM J. Control Optim40 (2001) 211–230.  Zbl0995.93037
  26. K.-D. Phung, Note on the cost of the approximate controllability for the heat equation with potentiel. J. Math. Anal. Appl.295 (2004) 527–538.  Zbl1054.93028
  27. J. Rauch, X. Zhang and E. Zuazua, Polynomial decay for a hyperbolic-parabolic coupled system. J. Math. Pures. Appl84 (2005) 407–470.  Zbl1077.35030
  28. L. Robbiano, Théorème d'unicité adapté au contrôle des solutions des problèmes hyperboliques. Comm Partial. Diff. Equa16 (1991) 789–800.  Zbl0735.35086
  29. L. Robbiano, Fonction de coût et contrôle des solutions des équations hyperboliques Asym. Anal.10 (1995) 95–115.  
  30. L. Robbiano and C. Zuily, Uniqueness in the Cauchy problem for operator with partially holomorphic coefficients. Inventiones Mathematice131 (1998) 493–539.  Zbl0909.35004
  31. D. Russell, A unified boundary contrllability theory for hyperbolic and parabolic partial differential equations. Stud. Appl. Math52 (1973) 189–212.  
  32. D. Tataru, Unique continuation for solution to P.D.E's between Hörmander theorem and Holmgren's theorem Comm. Part. Diff. Eq20 (1995) 855–884.  Zbl0846.35021
  33. D. Tataru, Carleman estimates and unique continuation for solutions to boundary-value problems J. Math. Pures. Appl75 (1996) 367–408.  Zbl0896.35023
  34. D. Tataru, Unique continuation for partial differential operators with partially analytic coefficients J. Math. Pures. Appl78 (1999) 505–521.  Zbl0936.35038
  35. X. Zhang and E. Zuazua, Polinomial decay and control of a 1-d model for fluid-structure interaction. C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I336 (2003) 745–750.  Zbl1083.93024
  36. X. Zhang and E. Zuazua, Control, observation and polynomial decay for a coupled heat-wave system. C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I336 (2003) 823–828.  Zbl1029.93037
  37. X. Zhang and E. Zuazua, Long-time behavior of a coupled heat-wave system arising in fluid-structure interaction. Arch. Ration. Mech. Anal184 (2007) 49–120.  Zbl1178.74075

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.