Inégalité d'observabilité du type logarithmique et estimation de la fonction de coût des solutions des équations hyperboliques

Leila Ouksel

ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations (2008)

  • Volume: 14, Issue: 2, page 318-342
  • ISSN: 1292-8119

Abstract

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This work proposes a logarithmic estimation of the initial values of the solution u of a hyperbolic problem, with Neumann boundary conditions, using the trace of u restricted to the neighbourhood of the boundary, during a time sufficiently large for estimating the cost function of the problem.

How to cite

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Ouksel, Leila. "Inégalité d'observabilité du type logarithmique et estimation de la fonction de coût des solutions des équations hyperboliques." ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations 14.2 (2008): 318-342. <http://eudml.org/doc/250313>.

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abstract = { Dans ce travail, nous donnons une estimation logarithmique des données de la solution u, d'un problème hyperbolique avec condition aux limites de type Neumann, par la trace de u restreinte à un ouvert du bord, pendant un temps suffisamment grand qui nous permet d'estimer la fonction de coût de ce problème. },
author = {Ouksel, Leila},
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TY - JOUR
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JO - ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations
DA - 2008/3//
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VL - 14
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References

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  1. S. Alinhac, Non unicité du problème de Cauchy. Ann. Math117 (1983) 77–108.  
  2. S. Alinhac and M.S. Baouendi, A non uniqueness result for operators of principal type. Math. Z220 (1995) 561–568.  
  3. H. Bahouri, Dépendence non linéaire des données de Cauchy pour des solutions des équations aux dérivées partielles. J. Math. Pures. Appl66 (1987) 127–138.  
  4. C. Bardos, G. Lebeau and J. Rauch, Sharp sufficient conditions for the observation, control and stabilization of waves from the boundary. SIAM J. Control Optim30 (1992) 1024–1065.  
  5. N. Burq, Contrôle de l'équation des plaques en présence d'obstacles strictement convexes. Mém. Soc. Math. France (N. S.)55, Marseilles (1993).  
  6. T. Duyckaerts, Optimal decay rates of the energy of an hyperbolic-parabolic system coupled by an interface. European Union Projects “Smart System” (2002).  
  7. T. Duyckaerts, Xu Zhang and E. Zuazua, On the optimality of the observability inequality for parabolic and hyperbolic systems with potentials. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire (to appear).  
  8. C. Fabre, Résultats de contrôlabilité exacte interne pour l'équation de Schrödinger et leurs limites asymptotiques : Application à certaines équations de plaques vibrantes. Asym. Anal5 (1992) 343–379.  
  9. E. Fernandez-Cara and E. Zuazua, The cost of approximate controllability for heat equations: The linear case. Adv. Diff. Equa5 (2000) 465–514.  
  10. A.V. Fursikov and O. Yu Imanivilov, Controllability of evolution equations. Lect. Notes Ser34, Seoul National University, Research Institute of Mathematics, Global Analysis Research Center, Seoul (1996).  
  11. L. Hörmander, Linear partiel differential operators. Springer-Verlag, Berlin (1963).  
  12. L. Hörmander, On the uniqueness of the Cauchy problem under partial analyticity asumptions. Springer-Verlag (1996).  
  13. V.-M. Isakov, On the uniquenss of the solution of the Cauchy problem. Sov. Math. Dokl22 (1980) 639–642.  
  14. F. John, Continous dependence on data for solution of partial differential equations with prescribed bound. Comm. Pure. Appl. Math17 (1960) 551–585.  
  15. I. Lasiecka and R. Triggiani, Optimal regularity, exact controllability and uniform stabilisation of Schrödinger equation with Dirichlet control. Diff. Integral. Equa5 (1992) 521–535.  
  16. G. Lebeau, Contrôle de l'équation de Schrödinger. J. Math. Pures. Appl71 (1992) 267–291.  
  17. G. Lebeau, Contrôle analytique I : estimation a priori. Duk. Math. J68 (1992) 1–30.  
  18. G. Lebeau et L. Robbiano, Contrôle exacte de l'équation de la chaleur. Comm Partial. Diff. Equa20 (1995) 335–356.  
  19. G. Lebeau et L. Robbiano, Stabilisation de l'équation des ondes par le bord Duk. Math. J.86 (1997) 465–491.  
  20. J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation des systèmes distribués. Masson Collection, RMA, Paris (1988).  
  21. J.-L. Lions et E. Magenes, Problèmes aux limites non homogènes et applications. Vol. 1, Dunod, Paris (1968).  
  22. E. Machtyngier, Exact controllability for Schrödinger equation. SIAM J. Control. Optim32 (1994) 24–34.  
  23. L. Miller, Geometric bounds on the growth rate of null-controllability cost of the heat equation in small time. J. Diff. Eq.2004 (2004) 202–226.  
  24. L. Miller, On the null-controllability of the heat equation in unbounded domains. Bull. Sci. Math129 (2005) 175–185.  
  25. K.-D. Phung, Observability and control of Schrödinger equation. SIAM J. Control Optim40 (2001) 211–230.  
  26. K.-D. Phung, Note on the cost of the approximate controllability for the heat equation with potentiel. J. Math. Anal. Appl.295 (2004) 527–538.  
  27. J. Rauch, X. Zhang and E. Zuazua, Polynomial decay for a hyperbolic-parabolic coupled system. J. Math. Pures. Appl84 (2005) 407–470.  
  28. L. Robbiano, Théorème d'unicité adapté au contrôle des solutions des problèmes hyperboliques. Comm Partial. Diff. Equa16 (1991) 789–800.  
  29. L. Robbiano, Fonction de coût et contrôle des solutions des équations hyperboliques Asym. Anal.10 (1995) 95–115.  
  30. L. Robbiano and C. Zuily, Uniqueness in the Cauchy problem for operator with partially holomorphic coefficients. Inventiones Mathematice131 (1998) 493–539.  
  31. D. Russell, A unified boundary contrllability theory for hyperbolic and parabolic partial differential equations. Stud. Appl. Math52 (1973) 189–212.  
  32. D. Tataru, Unique continuation for solution to P.D.E's between Hörmander theorem and Holmgren's theorem Comm. Part. Diff. Eq20 (1995) 855–884.  
  33. D. Tataru, Carleman estimates and unique continuation for solutions to boundary-value problems J. Math. Pures. Appl75 (1996) 367–408.  
  34. D. Tataru, Unique continuation for partial differential operators with partially analytic coefficients J. Math. Pures. Appl78 (1999) 505–521.  
  35. X. Zhang and E. Zuazua, Polinomial decay and control of a 1-d model for fluid-structure interaction. C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I336 (2003) 745–750.  
  36. X. Zhang and E. Zuazua, Control, observation and polynomial decay for a coupled heat-wave system. C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I336 (2003) 823–828.  
  37. X. Zhang and E. Zuazua, Long-time behavior of a coupled heat-wave system arising in fluid-structure interaction. Arch. Ration. Mech. Anal184 (2007) 49–120.  

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