Pisot numbers, primitive matrices and beta-conjugates

Anne Bertrand-Mathis[1]

  • [1] Université de Poitiers Mathématiques BP 30179 86962 Futuroscope cedex, France

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (2012)

  • Volume: 24, Issue: 1, page 57-72
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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We show that given a Pisot number β , for any integer n large enough, there is a nonnegative primitive square matrix whose order is equal to the degree of β , and the matrix admits β n for eingenvalue.Let β = a 1 / β + a 2 / β 2 + ⋯ + a n / β n + ⋯ be the β -expansion of β . For any Pisot number β , the sequence ( a n ) n ≥ 1 is ultimately periodic i.e., for n ≥ n 0 , a n + k = a n , and we call Parry polynomial the polynomial X n 0 + k - ( a 1 X n 0 + k - 1 + ⋯ + a n 0 + k ) - ( X n 0 - ( a 1 X n 0 + ⋯ + a n 0 ) ) . We also show that there is a relatively dense set of integers n such that the minimal polynomial of β n is equal to its Parry polynomial.

How to cite

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Bertrand-Mathis, Anne. "Nombres de Pisots, matrices primitives et bêta-conjugués." Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 24.1 (2012): 57-72. <http://eudml.org/doc/251092>.

@article{Bertrand2012,
abstract = {Soit $\beta $ un nombre de Pisot ; nous montrons que pour tout entier $n$ assez grand il existe une matrice carrée à coefficients positifs ou nuls dont l’ordre est égal au degré de $\beta $ et dont $\beta ^\{n\}$ est valeur propre.Soit $\beta =\{a_\{1\}\}/\{\beta \}+\{a_2\}/\{\beta ^\{2\}\}+\cdots +\{a_\{n\}\}/\{\beta ^\{n\}\}+\cdots $ le $\beta $-développement de $\beta $ ; si $\beta $ est un nombre de Pisot, alors la suite $(a_\{n\})_\{n\ge 1\}$ est périodique après un certain rang $n_0$ (pour $n\ge n_\{0\}$, $a_\{n+k\}=a_\{n\}$) et le polynôme\[ X^\{n\_\{0\}+k\}\!-(a\_\{1\}X^\{n\_\{0\}+k-1\}\!+\cdots +a\_\{n\_\{0\}+k\})-(X^\{n\_\{0\}\}\!-(a\_\{1\}X^\{n\_\{0\}\}+\cdots +a\_\{n\_\{0\}\})) \]est appelé polynôme de Parry. Nous montrons qu’il existe un ensemble relativement dense d’entiers $n$ tels que le polynôme minimal de $\beta ^n$ est égal à son polynôme de Parry.},
affiliation = {Université de Poitiers Mathématiques BP 30179 86962 Futuroscope cedex, France},
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PB - Société Arithmétique de Bordeaux
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AB - Soit $\beta $ un nombre de Pisot ; nous montrons que pour tout entier $n$ assez grand il existe une matrice carrée à coefficients positifs ou nuls dont l’ordre est égal au degré de $\beta $ et dont $\beta ^{n}$ est valeur propre.Soit $\beta ={a_{1}}/{\beta }+{a_2}/{\beta ^{2}}+\cdots +{a_{n}}/{\beta ^{n}}+\cdots $ le $\beta $-développement de $\beta $ ; si $\beta $ est un nombre de Pisot, alors la suite $(a_{n})_{n\ge 1}$ est périodique après un certain rang $n_0$ (pour $n\ge n_{0}$, $a_{n+k}=a_{n}$) et le polynôme\[ X^{n_{0}+k}\!-(a_{1}X^{n_{0}+k-1}\!+\cdots +a_{n_{0}+k})-(X^{n_{0}}\!-(a_{1}X^{n_{0}}+\cdots +a_{n_{0}})) \]est appelé polynôme de Parry. Nous montrons qu’il existe un ensemble relativement dense d’entiers $n$ tels que le polynôme minimal de $\beta ^n$ est égal à son polynôme de Parry.
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ER -

References

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