Sur l’ensemble singulier et l’ensemble de concentration d’énergie de Navier – Stokes

Walter Craig[1]

  • [1] Department of Mathematics & Statistics McMaster University Hamilton Ontario L8S 4K1 Canada

Séminaire Équations aux dérivées partielles (2009-2010)

  • page 1-11

Abstract

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Les travaux bien connus de Caffarelli, Kohn & Nirenberg [6] (1982) sur la régularité partielle des solutions faibles “convenables” u ( x , t ) des équations de Navier-Stokes en dimension 3 donnent une borne supérieure sur la mesure de l’ensemble singulier S ( u ) de ces solutions. Nous présentons ici des estimations globales nouvelles pour les solutions faibles, donnant des informations sur la continuité dans L 2 de ces solutions. En particulier, un résultat microlocal de type géométrique donne une borne inférieure, complémentaire de celle de [6], sur l’ensemble de concentration d’énergie S L 2 ( u ) , ou plutôt sur son analogue microlocal W F L 2 ( u ) ⊆ T * ( ℝ 3 ) . Cette borne implique, dans le cas où l’ensemble W F L 2 ( u ) n’est pas vide, qu’il ne peut pas être “trop petit”.

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Craig, Walter. "Sur l’ensemble singulier et l’ensemble de concentration d’énergie de Navier – Stokes." Séminaire Équations aux dérivées partielles (2009-2010): 1-11. <http://eudml.org/doc/251183>.

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PB - Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
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ER -

References

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  1. M. Arnold and W. Craig DCDS 28 no. 3, (2010). MR2644785
  2. R. Beals and C. Fefferman Spatially inhomogeneous pseudodifferential operators. I. Comm. Pure Appl. Math. 27 (1974) 1–24. Zbl0279.35071MR352747
  3. A. Biryuk and W. Craig, Bounds on Kolmogorov spectrum for the Navier – Stokes equations. preprint, ArXiv #0807.4505 Zbl1236.35101MR2872819
  4. A. Biryuk, W. Craig and S. Ibrahim, Construction of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations. Stochastic analysis and partial differential equations, 1–18, Contemp. Math., 429 Amer. Math. Soc., Providence, RI (2007). Zbl1205.35187MR2391525
  5. L. Boutet de Monvel Propagation des singularités des solutions d’équations analogues à l’équation de Schrödinger. Fourier integral operators and partial differential equations (Colloq. Int., Univ. Nice, Nice, 1974), pp. 1–14. Lecture Notes in Math., 459 Springer, Berlin (1975). Zbl0305.35088MR423430
  6. L. Caffarelli, R. Kohn and L. Nirenberg Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier – Stokes equations. Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982) 771–831. Zbl0509.35067MR673830
  7. D. Córdoba, C. Fefferman and R. de la Llave On squirt singularities in hydrodynamics. SIAM J. Math. Anal. 36 (2004) 204–213. Zbl1078.76018MR2083858
  8. L. Escauriaza, G. Seregin and V. Sveràk. Backward uniqueness for parabolic equations. Arch. Ration. Mech. Anal. 169 (2003) 147–157. Zbl1039.35052MR2005639
  9. C. Foiaş, C. Guillopé and R. Temam New a priori estimates for Navier-Stokes equations in dimension 3 . Comm. Partial Differential Equations 6 (1981) 329–359. Zbl0472.35070MR607552
  10. C. Foiaş and R. Temam Some analytic and geometric properties of the solutions of the evolution Navier-Stokes equations. J. Math. Pures Appl. (9) 58 (1979) 339–368. Zbl0454.35073MR544257
  11. P. Gérard Microlocal defect measures. Comm. Partial Differential Eqns 16 (1991) 1761–1794. Zbl0770.35001MR1135919
  12. P. Gérard communication personelle (2009). 
  13. A. N. Kolmogorov The local structure of turbulence in incompressible viscous flow for very large Reynolds’ numbers.Dokl. Akad. Nauk SSSR30 (1941) 299–303. 
  14. R. Lascar Propagation des singularités des solutions d’équations pseudo-différentielles quasi homogènes. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 27 (1977) vii-viii, 79–123. Zbl0349.35079MR461592
  15. J. Leray Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace. Acta Math. 63 (1934) 193–248. MR1555394
  16. A. M. Obukhov On the energy distribution in the spectrum of a turbulent flow.Dokl. Akad. Nauk SSSR32 (1941) 22–24. Zbl0061.45601MR5852
  17. V. Scheffer Hausdorff measure and the Navier-Stokes equations. Comm. Math. Phys. 55 (1977) 97–112. Zbl0357.35071MR510154
  18. J. Serrin On the interior regularity of weak solutions of the Navier-Stokes equations. Arch. Rational Mech. Anal. 9 (1962) 187–195. Zbl0106.18302MR136885
  19. H. Sohr and W. von Wahl On the regularity of the pressure of weak solutions of Navier – Stokes equations. Arch. Math. (Basel) 46 (1986) 428–439. Zbl0574.35070MR847086
  20. M. Struwe On partial regularity results for the Navier-Stokes equations. Comm. Pure Appl. Math. 41 (1988) 437–458. Zbl0632.76034MR933230
  21. L. Tartar H -measures, a new approach for studying homogenisation, oscillations and concentration effects in partial differential equations. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 115 (1990) 193–230. Zbl0774.35008MR1069518

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