# The initial proofs for the Fourier integral theorem

• Volume: 3, Issue: 1, page 99-136
• ISSN: 1262-022X

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## Abstract

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Fourier, Cauchy and Poisson, working during the same period of time, and – so it would appear – independently, introduced the integral transform which has, over the years, proved itself to be one of the most powerful instruments to gain new results in the field of analysis and its applications. A number of proofs of the convergence of the corresponding integral formula were adduced by Cauchy and Poisson, whereas Fourier, to whom paternity of the formula is ascribed as a matter of course, only presented the single one. Yet another proof was arrived at by a little known mathematician, Camille Deflers.The paper proceeds with a comparative survey of the various proofs propounded in the 1810s and 1820s, leading to a suggested classification of such proofs, on the basis of the method involved. One may thus distinguish those proofs using the auxiliary factor technique (Cauchy, Poisson), those relying on an “evaluation of the weight of the integral” (Deflers, Fourier, Poisson), and finally that presented by Cauchy, bringing in the calculus of residues.

## How to cite

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Annaratone, Silvia. "Les premières démonstrations de la formule intégrale de Fourier." Revue d'histoire des mathématiques 3.1 (1997): 99-136. <http://eudml.org/doc/252017>.

@article{Annaratone1997,
abstract = {Fourier, Cauchy et Poisson ont à la même époque et, semble-t-il, indépendamment, introduit la transformée intégrale qui est devenue depuis l’un des outils les plus féconds de l’analyse et de ses applications. Plusieurs démonstrations de convergence de la formule intégrale correspondante ont été proposées par Cauchy et Poisson, alors que Fourier, auquel est attribuée la paternité de la formule, n’en a donné qu’une seule. Une autre preuve est due à un mathématicien peu connu, Camille Deflers.Une comparaison des diverses démonstrations présentées dans les années 1810 et 1820 conduit à en proposer une classification d’après la méthode utilisée. On repère ainsi les preuves utilisant la technique du facteur auxiliaire (Cauchy, Poisson), celles fondées sur une « évaluation du poids de l’intégrale » (Deflers, Fourier, Poisson), et enfin celle de Cauchy de 1827 utilisant le calcul des résidus.},
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## References

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1. [1] Annaratone ( S.) [1994] L’integrale di Fourier nelle opere di Fourier, Cauchy e Poisson, thèse, Università degli Studi di Firenze, 1994.
2. [2] Belhoste ( B.) [1991] Augustin-Louis Cauchy. A biography, New York : Springer, 1991. MR1107297
3. [3] Bachelard ( G.) [1928] Étude sur l’évolution d’un problème de physique. La propagation thermique dans les solides, Paris : Vrin, 1928 ; 2e éd., 1973. JFM55.0622.18
4. [4] Bottazzini ( U.) [1986] The higher calculus : A history of real and complex analysis from Euler to Weierstrass, New York : Springer, 1986. Zbl0597.01011MR860945
5. [5] Bottazzini ( U.) [1990] Il flauto di Hilbert, Torino : Utet, 1990.
6. [6] Burkhardt ( H.) [1908] Entwicklungen nach oscillirenden Functionen und Integration der Differentialgleichungen der mathematischen Physik, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, X${}_{2}$ (1908), p.1–1804. Zbl39.0062.01JFM39.0062.01
7. [7] Cauchy ( A.-L.) [Œuvres] Œuvres complètes, 27 vol. en deux séries, Paris : Gauthier-Villars, 1882–1974. Zbl1204.00001MR472451
8. [8] Cauchy ( A.-L.) [1813] Exposé sommaire d’une méthode pour déterminer a priori le nombre des racines réelles positives et le nombre des racines réelles négatives d’une équation d’un degré quelconque, Procès-verbaux de l’Académie des sciences, V (1813), p. 214 ; Œuvres (II) 15, p.11–16.
9. [9] Cauchy ( A.-L.) [1814/1827] Mémoire sur les intégrales définies, Mémoires présentés par divers savants à l’Académie royale des sciences de l’Institut de France, 1 (1827), p.599- 799 ; Œuvres (I) 1, p.329–506.
10. [10] Cauchy ( A.-L.) [1815/1827] Théorie de la propagation des ondes à la surface d’un fluide pesant d’une profondeur indéfinie, Ibid., 1 (1827), p.3–312 ; Œuvres (I) 1, p.4–318.
11. [11] Cauchy ( A.-L.) [1817] Sur une loi de réciprocité qui existe entre certaines fonctions, Bulletin des sciences par la Société philomatique de Paris, (1817), p.121–124 ; Œuvres (II) 2, p.223–227.
12. [12] Cauchy ( A.-L.) [1818] Seconde note sur les fonctions réciproques, Ibid., (1818), p.188–191 ; Œuvres (II) 2, p.228–232.
13. [13] Cauchy ( A.-L.) [1823a] Mémoire sur l’intégration des équations linéaires aux différentielles partielles et à coefficients constants, Journal de l’École polytechnique, t. XII, 19e cahier (1823), p.510–589 ; Œuvres (II) 1, p.275–357.
14. [14] Cauchy ( A.-L.) [1823b] Résumé des leçons données à l’École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, t. 1, Paris, 1823 ; Œuvres (II) 4, p.14–261.
15. [15] Cauchy ( A.-L.) [1825] Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires, Paris, 1825 ; Œuvres (II) 15, p.41–89. JFM07.0155.01
16. [16] Cauchy ( A.-L.) [1826] Sur un nouveau genre de calcul analogue au calcul infinitésimal, Exercices de mathématiques, 1 (1826), p.11–24 ; Œuvres (II) 6, p.23–37.
17. [17] Cauchy ( A.-L.) [1827a] Mémoire sur les développements des fonctions en séries périodiques, Mémoires de l’Académie royale des sciences de l’Institut de France, 6 (1823, publ. 1827), p.603–612 ; Œuvres (I) 2, p.12–19.
18. [18] Cauchy ( A.-L.) [1827b] Sur la transformation des fonctions d’une seule variable en intégrales doubles, Exercices de mathématiques, 2 (1827) ; Œuvres (II) 7, p.146–159.
19. [19] Costabel ( P.) [1981] Siméon-Denis Poisson : aspect de l’homme et de son œuvre, dans Métivier (M.), Costabel (P.) et Dugac (P.), éd., Siméon-Denis Poisson et la science de son temps, Palaiseau : École polytechnique, 1981, p.1–21.
20. [20] Dahan Dalmedico ( A.) [1992] L’intégration des équations différentielles aux dérivées partielles à coefficients constants dans les travaux de Cauchy (1821–1830), Revue d’histoire des sciences, 45 (1992), p.83–114. Zbl0757.01010MR1198725
21. [21] Daniel ( E. et H.) [1832] Biographie des hommes remarquables du département de Seine-et-Oise, Rambouillet, 1832.
22. [22] Deflers ( C.) [1819] Note sur quelques intégrales définies, et application à la transformation des fonctions en séries de quantités périodiques, Bull. sci. Soc. philom. Paris, (1819), p.161–166.
23. [23] Deflers ( C.) [1824] Compte rendu de [Poisson 1823], Bulletin universel des sciences et de l’industrie, (section I), 1 (1824), p.332–336.
24. [24] Dirichlet ( P.G. Lejeune-) [1829] Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 4 (1829), p.157–169 ; Werke, vol. I, Berlin, 1889, p.117–132.
25. [25] Euler ( L.) [Opera] Opera omnia, 4 séries, sub. ausp.Societatis Scientiarum Naturalium Helveticae, 1911– .
26. [26] Euler ( L.) [1760] Subsidium calculi sinuum, Novi commentarii Academiae scientiarum Petropolitanae, 5 (1754–1755, publ. 1760), p.164–204 ; Opera (I) 14, p.542– 584.
27. [27] Euler ( L.) [1768] Institutiones calculi integralis, vol. I, Pétersbourg, 1768 ; Opera (I) 11, p.1–462.
28. [28] Fourier ( J.) [Œuvres] Œuvres de Fourier, 2 vol., Paris, 1888–1890.
29. [29] Fourier ( J.) [1807/1972] Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides, dans [Grattan-Guinness et Ravetz 1972, p.39–440].
30. [30] Fourier ( J.) [1811/1824] Théorie du mouvement de la chaleur dans les corps solides (ch. I–XI), Mémoires de l’Académie royale des sciences de l’Institut de France, 4 (1819–1820, publ. 1824), p.185–556.
31. [31] Fourier ( J.) [1811/1826] Suite du mémoire : Théorie du mouvement de la chaleur dans les corps solides (ch. XII–XIV), Ibid., 5 (1821–1822, publ. 1826), p.153–246 ; Œuvres 2, p.3–94.
32. [32] Fourier ( J.) [1816] Théorie de la chaleur, Annales de chimie et de physique, 3 (1816), p.350– 375.
33. [33] Fourier ( J.) [1822] Théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822 ; Œuvres, t. 1.
34. [34] Gibson ( G.A.) [1893] On the history of Fourier series, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 11 (1892–93), p.137–166. JFM25.0069.02
35. [35] Grattan-Guinness ( I.) [1970] The development of the foundation of mathematical analysis from Euler to Riemann, Cambridge (Mass.) : MIT Press, 1970. Zbl0215.04401MR497690
36. [36] Grattan-Guinness ( I.) [1990] Convolutions in french mathematics 1800–1840, 3 vol., Basel : Birkhäuser, 1990. Zbl0836.01013
37. [37] Grattan-Guinness ( I.) et Ravetz ( J.R.) [1972] Joseph Fourier 1768–1830. A survey of his life and work, based on a critical edition of his monograph on the propagation of heat, presented to the Institut de France in 1807, Cambridge (Mass.) : MIT Press, 1972. Zbl0245.01008MR419139
38. [38] Kline ( M.) [1972] Mathematical thought from ancient to modern times, New York : Oxford University Press, 1972. Zbl0277.01001MR472307
39. [39] Lagrange ( J.-L.) [1759] Recherches sur la nature et la propagation du son, Miscellanea Taurinensia, 1 (1759), p.i–x, 1–112 ; Œuvres de Lagrange, t. 1, Paris, 1867, p.39–148.
40. [40] Laugwitz ( D.) [1989] Definite values of infinite sums : Aspects of the foundations of infinitesimal analysis around 1820, Archive for History of Exact Sciences, 39 (1989), p.195–245. Zbl0766.01011MR987515
41. [41] Mackey ( G.) [1980] Harmonic analysis as the exploitation of symmetry. A historical survey, Bulletin of the American Mathematical Society, (N.S.) 2 (1980), p.543–698. Zbl0437.43001MR571370
42. [42] Poisson ( S.-D.) [1816] Mémoire sur la théorie des ondes, Mémoires de l’Académie royale des sciences de l’Institut de France, 1 (1816, publ. 1818), p.71–186.
43. [43] Poisson ( S.-D.) [1820] Mémoire sur la manière d’exprimer les fonctions par des séries de quantités périodiques et sur l’usage de cette transformation dans la résolution de différents problèmes, J. École pol., t. XI, 18e cahier (1820), p.417–489.
44. [44] Poisson ( S.-D.) [1823] Suite du mémoire sur les intégrales définies et sur la sommation des séries, Ibid., t. XII, 19e cahier (1823), p.404–509.
45. [45] Riemann ( B.) [1857] Uber die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe, (Habilitationschrift, Göttingen, 1857), Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868), p.87–132 ; Gesammelte mathematische Werke, Leipzig, 1876, p.213–253. Trad. fr., Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, 5 (1873), p.20–48, 79–96 ; Œuvres mathématiques, Paris, 1898, p.225–279. JFM01.0131.03
46. [46] Sachse ( A.) [1880] Essai historique sur la représentation d’une fonction arbitraire d’une seule variable par une série trigonométrique, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, (II) 4–1 (1880), p.43–112. JFM12.0035.02
47. [47] Wiener ( N.) [1933] The Fourier integral and certains of its applications, Cambridge : The University Press, 1933. MR983891JFM59.0416.01

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