Historical Perspective on the Relationship between Model Theory and Algebra: A Tendentious Viewpoint

Daniel Lascar

Revue d'histoire des mathématiques (1998)

  • Volume: 4, Issue: 2, page 237-260
  • ISSN: 1262-022X

Abstract

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This article presents a personal point of view dealing with the theory of models from its birth, with Peirce’s work around 1870, to Morley’s theorem in 1965. It insists particularly on “universal algebras” and explains how this theory evolved through the notion of definability towards a complex science able to infuse the rest of mathematics with new ideas.

How to cite

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Lascar, Daniel. "Perspective historique sur les rapports entre la théorie des modèles et l’algèbre. Un point de vue tendancieux." Revue d'histoire des mathématiques 4.2 (1998): 237-260. <http://eudml.org/doc/252042>.

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abstract = {Je vais traiter, d’un point de vue personnel, la naissance et les premiers développements de la théorie des modèles pendant la période qui s’étend de sa naissance vers 1870, avec les travaux de Peirce, jusqu’au théorème de Morley vers 1965. J’insisterai particulièrement sur l’aspect « algèbre universelle » et j’essaierai de dégager comment la notion de définissabilité a fait évoluer cette théorie jusqu’à une science complexe pouvant apporter de nouvelles idées au reste des mathématiques.},
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TY - JOUR
AU - Lascar, Daniel
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References

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  1. [1] Ax ( James) & Kochen ( Simon) [1965] Diophantine problems over local fields II, American Journal of Mathematics 87 (1965), p.631–648. Zbl0136.32805MR184931
  2. [2] Birkhoff ( Garrett) [1933] On the combination of subalgebras, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 29 (1933), p.441–464. Zbl0007.39502JFM59.0154.02
  3. [3] Boole ( George) [1847] The Mathematical Analysis of Logic, Cambridge : Macmillan, Barclay & Macmillan, 1847. Zbl0041.34803
  4. [4] Chang ( Chen Chung) [1971] Model theory 1945–1971, Proceedings of the Tarski Symposium, Berkeley, 1971, p.173–186. Zbl0306.02006MR472502
  5. [5] Chang ( Chen Chung) & Keisler ( Jérôme H.) [1973] Model Theory, Amsterdam : North Holland, 1973. 
  6. [6] Ehrenfeucht ( Andrzej) [1957] On theories categorical in power, Fundamenta Mathematica, 44 (1957), p.241–248. Zbl0105.00601MR96606
  7. [7] Ehrenfeucht ( Andrzej) & Mostowski ( Andrzej) [1956] Models of axiomatic theories admitting automorphisms, Fund. Math., 43 (1956), p.50–68. Zbl0073.00704MR84456
  8. [8] Engeler ( Erwin) [1959] A characterisation of theories with isomorphic denumerable models, Abstract, Notices of the American Mathematical Society, 6 (1959), p.161. 
  9. [9] Ershov ( Yu) [1965] On the elementary theory of maximal normed fields (en russe), Algebra i logika, 4(3) (1965), p.31–70. Zbl0274.02022MR193086
  10. [10] FraÏsse ( Roland) [1954] Sur l’extension aux relations de quelques propriétés des ordres, Annales scientifiques de l’École normale supérieure, 71 (1954), p.363–388. Zbl0057.04206MR69239
  11. [11] Frege ( Gottlob) [1878] Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildeten Formelsprache des reinen Denkens, Halle 1878. Traduction en anglais dans [Heijenoort 1967, p.1–82]. 
  12. [12] Frege ( Gottlob) [1882] Ueber den Zweck der Begriffsschrift, Sitzungsberichte der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft für das Jahr 1882, p.1–10. MR604516
  13. [13] Frege ( Gottlob) [1964] Begriffsschrift und andere Aufsätze, éd. par Ignacio Angelelli, Hildesheim : Olms, 1964. MR164864
  14. [14] Gödel ( Kurt) [1930] Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls, Monatshefte für Mathematik und Physik, 37 (1930), p.349–360. Traduction en anglais dans [Heijenoort 1967, p.582–591]. JFM56.0046.04
  15. [15] Heijenoort ( Jean van) [1967] From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, Cambridge, Ma. : Harvard University Press, 1967. Zbl0183.00601MR209111
  16. [16] Hodges ( Wilfrid) [1993] Model Theory, Cambridge : Cambridge University Press, 1993. Zbl0789.03031MR1221741
  17. [17] Hrushovski ( Ehud) [1996] The Mordell-Lang conjecture for function fields, Journal of the American Mathematical Society, 9 (1996), p.667–690. Zbl0864.03026MR1333294
  18. [18] JØnsson ( Bjarni) [1956] Universal relational systems, Mathematica Scandinavica, 4 (1956), p.193–208. Zbl0077.25302MR96608
  19. [19] JØnsson ( Bjarni) [1960] Homogeneous universal relational systems, Math. Scand., 8 (1960), p.137–142. Zbl0173.00505MR125021
  20. [20] ŁoŠ ( Jerzi) [1954] On the categoricity in power of elementary deductive systems and some related problems, Colloquium Mathematicum, 3 (1954), p.58–62. Zbl0055.00505MR61561
  21. [21] ŁoŠ ( Jerzi) [1955] Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classes définissables d’algèbres, dans Brouwer (L.E.J.) et al., eds., Mathematical Interpretation of Formal Systems, Amsterdam : North Holland, 1955, p.98–113. Zbl0068.24401
  22. [22] Löwenheim ( Leopold) [1915] Über Möglichkeiten im Relativkalkül, Mathematische Annalen, 76 (1915), p.447–470. Traduit en anglais dans [Heijenoort 1967]. Zbl45.0108.01
  23. [23] Maltsev ( Anatolii Ivanovich) [1936] Untersuchungen aus dem Gebiete der mathematischen Logik, Matematiceskij Sbornik, 1(43) (1936), p.323–336. Zbl0014.38501
  24. [24] Marsh ( William) [1966] On Ð 1 but not Ð -categorical theories, Ph.D. thesis, University of Dartmouth, 1966. 
  25. [25] Mitchell [1883] Studies in Logic, by members of the Johns Hopkins University, Boston : Little & Brown, 1883. 
  26. [26] Morley ( Michael) [1965] Categoricity in Power, Transactions of the American Mathematical Society, 114 (1965), p.514–538. Zbl0151.01101MR175782
  27. [27] Morley ( Michael) & Vaught ( Robert L.) [1962] Homogeneous universal models, Math. Scand., 11 (1962), p.37–57. Zbl0112.00603MR150032
  28. [28] Peirce ( Charles Sanders) [1870] Description of a notation for logic of relatives, resulting from an amplification of the conception of Boole’s calculus of logic, Memoirs of the American Academy of Art and Sciences, 9 (1870), p.317–378. 
  29. [29] Robinson ( Abraham) [1961] Non standard analysis, Indagationes Mathematicae, 23 (1961), p.432–440. Zbl0102.00708MR142464
  30. [30] Ryll-Nardzewski ( Czeslaw) [1959] On the categoricity in power 0 , Bulletin de l’Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences mathématiques, astronomiques et physiques, 7 (1959), p.545–548. Zbl0117.01101MR111681
  31. [31] Schröder ( Ernst) [1880] Revue critique de Frege, Begriffsschrift, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 25 (1880), Historisch-literarische Abtheilung, p.81–94. 
  32. [32] Schröder ( Ernst) [1890,1891,1895] Vorlesungen über die Algebra der Logik, Leipzig 1890, 1891, 1895. Republié par Chelsea, New York, en 1966. 
  33. [33] Scott ( Dana) & Tarski ( Alfred) [1958] The sentential calculus with infinitely long expressions, Colloquium Mathematicum, 6 (1958), p.165–170. Zbl0119.25002MR99914
  34. [34] Shelah ( Saharon) [1978] Classification Theory and the Number of Non-Isomorphic Models, Amsterdam : North Holland, 1978. Zbl0388.03009MR513226
  35. [35] Skolem ( Thoralf) [1920] Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theoreme über dichte Mengen, Videnskapsselskapets Skrifter, I, Matem. naturv. klasse I, no4, 1920, p.1–36. Traduit en anglais dans [Heijenoort 1967]. MR151894JFM48.1121.01
  36. [36] Skolem ( Thoralf) [1923] Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre, dans Mathematikerkongressen i Helsingfors den 4–7 Juli 1922, Den femte skandinaviska matematikerkongressen Redogörelse, Helsinki, 1922, p.217–232. Traduit en anglais dans [Heijenoort 1967]. JFM49.0138.02
  37. [37] Skolem ( Thoralf) [1934] Über die Nichtcharakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariablen, Fund. Math., 23 (1934), p.150–161. Zbl0010.04902
  38. [38] Svenonius ( Lars) [1959] 0 -categoricity in first order predicate calculus, Theoria, 25 (1959), p.82–94. MR138539
  39. [39] Szmielew ( Wanda) [1955] Elementary properties of Abelian groups, Fund. Math., 41 (1955), p.203–271. Zbl0064.00803MR72131
  40. [40] Tarski ( Alfred) [1931] Sur les ensembles définissables de nombres réels, Fund. Math., 17 (1931), p.210–239. JFM57.0060.02
  41. [41] Tarski ( Alfred) [1933] Pojȩciu prawdy w jezybach nauk dedukcyjnych, Warsawa, 1933. Traduit en anglais dans Logic, Semantics, Metamathematics, Oxford : Clarendon Press, 1956, p.152–278. MR78296
  42. [42] Tarski ( Alfred) [1936a] Grundzüge des Systemenkalküls. Zweiter Teil, Fund. Math., 26 (1936), p.283–301. Traduit en anglais dans Logic, Semantics, Metamathematics, Oxford : Clarendon Press, 1956. Zbl0014.38701MR78296JFM62.0038.02
  43. [43] Tarski ( Alfred) [1936b] Über den Begriff der logischen Folgerung, Actes du congrès international de philosophie des sciences, vol. 7, Actualités scientifiques et industrielles 394, Paris : Hermann, 1936, p.1–11. Traduit en anglais dans Logic, Semantics, Metamathematics, Oxford : Clarendon Press, 1956. MR78296JFM62.1050.05
  44. [44] Tarski ( Alfred) [1941] On the calculus of relations, Journal of Symbolic Logic, 7 (1941), p.73–89. Zbl0026.24401MR5280JFM67.0973.02
  45. [45] Tarski ( Alfred) [1949] Arithmetical classes and types of algebraically closed and real closed fields, Abstract, Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (1949), p.1192. 
  46. [46] Tarski ( Alfred) [1951] A decision method for elementary algebra and geometry, Berkeley : University of California Press, 1951. Zbl0900.03045MR44472
  47. [47] Tarski ( Alfred) [1952] Some notions and methods on the borderlines of algebra and metamathematics, Proceedings of the International Congress of Mathematics, Cambridge Ma, American Mathematical Society, Providence, Rhodes Island, 1952, p.705–720. Zbl0049.00702MR45068
  48. [48] Tarski ( Alfred) & Vaught ( Robert L.) [1957] Arithmetical extension of relational systems, Compositio Mathematica, 13 (1957), p.81–102. Zbl0091.01201MR95121
  49. [49] Thiel ( Christian) [1977] Leopold Löwenheim : life, work and early influence, in Gandy (R.O.) & Hyland (J.M.E.), eds., Logic Colloquium, 76, Amsterdam : North Holland, p.235–252. Zbl0423.01019MR497811
  50. [50] Vaught ( Robert L.) [1954] Application of the Löwenheim-Skolem-Tarski theorem to problems of completeness and decidability, Proceedings Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Ser. A, 57 (1954) = Indag. Math., 16, p.467–472. Zbl0056.24802MR63993
  51. [51] Vaught ( Robert L.) [1971] Model theory before 1945, Proceedings of the Tarski Symposium, Berkeley, 1971, p.153-172 Zbl0306.02005MR472457
  52. [52] Wilkie ( Alex) [1996] Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function, Journal of the American Mathematical Society, vol.9, no 4, Oct. 1996, p.1051–1094. Zbl0892.03013MR1398816

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