Symmetry for solutions of semilinear elliptic equations in R N and related conjectures

Alberto Farina

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni (1999)

  • Volume: 10, Issue: 4, page 255-265
  • ISSN: 1120-6330

Abstract

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In the first part of this Note we prove one-dimensional and radial symmetry results for solutions of Δ ⁢ u + f ⁢ u = 0 in Simmetria delle soluzioni di equazioni ellittiche semilineari in R N . These results are connected with two conjectures (De Giorgi, 1978 and Gibbons, 1994) about the classification of solutions of the equation Δ ⁢ u + u ⁢ 1 - u 2 = 0 in R N . In particular we prove a stronger version of Gibbons' conjecture in any dimension N > 1 , namely: if the set of zeros of u is bounded with respect to one direction, say ν , then u is one-dimensional, i.e., u ⁢ x = u 0 ⁢ ν ⋅ x . In the second part we consider the reaction-convection-diffusion equations of type a i ⁢ j ⁢ x ⁢ θ i ⁢ j ⁢ u + b i ⁢ x ⁢ θ i ⁢ u + f ⁢ x , u = 0 in R N and prove monotonicity and symmetry results which, when combined, lead to another stronger version of Gibbons’s conjecture in any dimension.

How to cite

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Farina, Alberto. "Simmetria delle soluzioni di equazioni ellittiche semilineari in \( \mathbb{R}^{N} \)." Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni 10.4 (1999): 255-265. <http://eudml.org/doc/252351>.

@article{Farina1999,
abstract = {Nella prima parte di questa Nota si dimostrano dei risultati di simmetria unidimensionale e radiale per le soluzioni di \( \Delta u + f (u) = 0 \) in \( \mathbb\{R\}^\{N\} \). Questi risultati sono legati a due congetture (De Giorgi, 1978 e Gibbons, 1994) riguardanti la classificazione delle soluzioni dell’equazione \( \Delta u + u(1 - u^\{2\}) = 0 \) in \( \mathbb\{R\}^\{N\} \). Si dimostra, in particolare, la seguente generalizzazione della congettura di Gibbons: se \( N > 1 \) e se l’insieme degli zeri di \( u \) è limitato nella direzione \( \nu \), allora \( u(x) = u\_\{0\} (\nu \cdot x) \), ovvero, \( u \) è unidimensionale. Nella seconda parte si considerano le equazioni di reazione-convezione-diffusione del tipo \( a^\{ij\} (x) \theta\_\{ij\} u + b^\{i\} (x) \theta\_\{i\} u + f(x,u) = 0 \) in \( \mathbb\{R\}^\{N\} \) e si dimostrano dei risultati di monotonia e simmetria che, una volta combinati, conducono ad un’altra generalizzazione della congettura di Gibbons.},
author = {Farina, Alberto},
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TY - JOUR
AU - Farina, Alberto
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JO - Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni
DA - 1999/12//
PB - Accademia Nazionale dei Lincei
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AB - Nella prima parte di questa Nota si dimostrano dei risultati di simmetria unidimensionale e radiale per le soluzioni di \( \Delta u + f (u) = 0 \) in \( \mathbb{R}^{N} \). Questi risultati sono legati a due congetture (De Giorgi, 1978 e Gibbons, 1994) riguardanti la classificazione delle soluzioni dell’equazione \( \Delta u + u(1 - u^{2}) = 0 \) in \( \mathbb{R}^{N} \). Si dimostra, in particolare, la seguente generalizzazione della congettura di Gibbons: se \( N > 1 \) e se l’insieme degli zeri di \( u \) è limitato nella direzione \( \nu \), allora \( u(x) = u_{0} (\nu \cdot x) \), ovvero, \( u \) è unidimensionale. Nella seconda parte si considerano le equazioni di reazione-convezione-diffusione del tipo \( a^{ij} (x) \theta_{ij} u + b^{i} (x) \theta_{i} u + f(x,u) = 0 \) in \( \mathbb{R}^{N} \) e si dimostrano dei risultati di monotonia e simmetria che, una volta combinati, conducono ad un’altra generalizzazione della congettura di Gibbons.
LA - ita
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UR - http://eudml.org/doc/252351
ER -

References

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