Explicit Howe correspondence: dual pairs of type II

Alberto Mínguez

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (2008)

  • Volume: 41, Issue: 5, page 717-741
  • ISSN: 0012-9593

Abstract

top
In this article, we give a new method for proving Howe correspondence in the case of dual pairs of type GL n , GL m over a non-Archimedean locally compact field F . The proof consists in combining a study on Kudla’s filtration [11] with the results of [13] about the irreducibility of a parabolically induced representation. The proof is valid for F of any characteristic and allows us to make the correspondence explicit in terms of Langlands parameters. Hence it generalizes the results of [20] and answers completely all questions studied in [15] and [16] for dual pairs of type II.

How to cite

top

Mínguez, Alberto. "Correspondance de Howe explicite  : paires duales de type II." Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 41.5 (2008): 717-741. <http://eudml.org/doc/272116>.

@article{Mínguez2008,
abstract = {Dans cet article, nous proposons une nouvelle méthode pour démontrer la bijectivité de la correspondance de Howe pour les paires duales du type $\left( \{\rm GL\}_n, \{\rm GL\}_m \right)$ sur un corps $F$ localement compact non archimédien. La preuve est basée sur une étude soigneuse de la filtration de Kudla [11] ainsi que sur les résultats de [13] à propos de l’irréductibilité d’une représentation induite parabolique. Elle est valable pour $F$ de caractéristique quelconque et nous permet d’expliciter la bijection en termes des paramètres de Langlands. Elle généralise donc les résultats de [20] et répond totalement aux questions étudiées dans [15] et [16] pour les paires duales de type II.},
author = {Mínguez, Alberto},
journal = {Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure},
keywords = {représentations de groupes $p$-adiques; correspondance de Howe; correspondance thêta},
language = {fre},
number = {5},
pages = {717-741},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Correspondance de Howe explicite  : paires duales de type II},
url = {http://eudml.org/doc/272116},
volume = {41},
year = {2008},
}

TY - JOUR
AU - Mínguez, Alberto
TI - Correspondance de Howe explicite  : paires duales de type II
JO - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY - 2008
PB - Société mathématique de France
VL - 41
IS - 5
SP - 717
EP - 741
AB - Dans cet article, nous proposons une nouvelle méthode pour démontrer la bijectivité de la correspondance de Howe pour les paires duales du type $\left( {\rm GL}_n, {\rm GL}_m \right)$ sur un corps $F$ localement compact non archimédien. La preuve est basée sur une étude soigneuse de la filtration de Kudla [11] ainsi que sur les résultats de [13] à propos de l’irréductibilité d’une représentation induite parabolique. Elle est valable pour $F$ de caractéristique quelconque et nous permet d’expliciter la bijection en termes des paramètres de Langlands. Elle généralise donc les résultats de [20] et répond totalement aux questions étudiées dans [15] et [16] pour les paires duales de type II.
LA - fre
KW - représentations de groupes $p$-adiques; correspondance de Howe; correspondance thêta
UR - http://eudml.org/doc/272116
ER -

References

top
  1. [1] I. N. Bernšteĭn, Representations of p -adic groups, Notes by K.E. Rumelhart, Harvard Univ., 1992. 
  2. [2] I. N. Bernšteĭn & A. V. Zelevinskiĭ, Representations of the group GL ( n , F ) , where F is a local non-Archimedean field, Uspehi Mat. Nauk31 (1976), 5–70. Zbl0342.43017
  3. [3] N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 2, Hermann, Paris, 1970. 
  4. [4] C. J. Bushnell, Representations of reductive p -adic groups : localization of Hecke algebras and applications, J. London Math. Soc.63 (2001), 364–386. Zbl1017.22011MR1810135
  5. [5] W. Casselman, Introduction to the theory of admissible representations of p -adic reductive groups, preprint http://www.math.ubc.ca/~cass/research.html. 
  6. [6] R. Godement & H. Jacquet, Zeta functions of simple algebras, Lecture Notes in Math., Vol. 260, Springer, 1972. Zbl0244.12011
  7. [7] M. Harris, S. S. Kudla & W. J. Sweet, Theta dichotomy for unitary groups, J. Amer. Math. Soc.9 (1996), 941–1004. Zbl0870.11026
  8. [8] M. Harris & R. Taylor, The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Annals of Mathematics Studies 151, Princeton University Press, 2001. Zbl1036.11027
  9. [9] G. Henniart, Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL ( n ) sur un corps p -adique, Invent. Math.139 (2000), 439–455. Zbl1048.11092MR1738446
  10. [10] S. S. Kudla, Notes on the local theta correspondence, in Lectures notes from the European School on Group Theory, Schloß Hirschberg, Germany, 1966. Zbl0583.22010
  11. [11] S. S. Kudla, On the local theta-correspondence, Invent. Math.83 (1986), 229–255. Zbl0583.22010MR818351
  12. [12] A. Mínguez, Correspondance de Howe l -modulaire : paires duales de type II, Thèse, Université d’Orsay, 2006. 
  13. [13] A. Mínguez, Sur l’irréductibilité d’une induite parabolique, preprint à paraître dans J. reine angew. Math.. Zbl1172.22008
  14. [14] C. Mœglin, M.-F. Vignéras & J.-L. Waldspurger, Correspondances de Howe sur un corps p -adique, Lecture Notes in Math. 1291, Springer, 1987. Zbl0642.22002
  15. [15] G. Muić, Howe correspondence for discrete series representations ; the case of ( Sp ( n ) , O ( V ) ) , J. reine angew. Math. 567 (2004), 99–150. Zbl1037.22037MR2038306
  16. [16] G. Muić, Theta lifts of tempered representations for dual pairs S p ( 2 n ) , O ( V ) , à paraître dans Canad. J. Math.. Zbl1155.22012MR2462449
  17. [17] A. J. Silberger, The Langlands quotient theorem for p -adic groups, Math. Ann.236 (1978), 95–104. Zbl0362.20029MR507262
  18. [18] M. Tadić, Induced representations of GL ( n , A ) for p -adic division algebras, J. reine angew. Math. 405 (1990), 48–77. Zbl0684.22008MR1040995
  19. [19] J.-L. Waldspurger, Démonstration d’une conjecture de dualité de Howe dans le cas p -adique, p ≠ 2 , in Festschrift in honor of I. I. Piatetski-Shapiro on the occasion of his sixtieth birthday, Israel Math. Conf. Proc. 2, Weizmann, 1990, 267–324. Zbl0722.22009MR1159105
  20. [20] T. Watanabe, The local theta correspondence of irreducible type 2 dual reductive pairs, Tohoku Math. J.47 (1995), 521–540. Zbl0842.11023MR1359725
  21. [21] A. V. Zelevinsky, Induced representations of reductive p -adic groups. II. On irreducible representations of GL ( n ) , Ann. Sci. École Norm. Sup. 13 (1980), 165–210. Zbl0441.22014MR584084

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.