Explicit Howe correspondence: dual pairs of type II

Alberto Mínguez

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (2008)

  • Volume: 41, Issue: 5, page 717-741
  • ISSN: 0012-9593

Abstract

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In this article, we give a new method for proving Howe correspondence in the case of dual pairs of type GL n , GL m over a non-Archimedean locally compact field F . The proof consists in combining a study on Kudla’s filtration [11] with the results of [13] about the irreducibility of a parabolically induced representation. The proof is valid for F of any characteristic and allows us to make the correspondence explicit in terms of Langlands parameters. Hence it generalizes the results of [20] and answers completely all questions studied in [15] and [16] for dual pairs of type II.

How to cite

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Mínguez, Alberto. "Correspondance de Howe explicite  : paires duales de type II." Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 41.5 (2008): 717-741. <http://eudml.org/doc/272116>.

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abstract = {Dans cet article, nous proposons une nouvelle méthode pour démontrer la bijectivité de la correspondance de Howe pour les paires duales du type $\left( \{\rm GL\}_n, \{\rm GL\}_m \right)$ sur un corps $F$ localement compact non archimédien. La preuve est basée sur une étude soigneuse de la filtration de Kudla [11] ainsi que sur les résultats de [13] à propos de l’irréductibilité d’une représentation induite parabolique. Elle est valable pour $F$ de caractéristique quelconque et nous permet d’expliciter la bijection en termes des paramètres de Langlands. Elle généralise donc les résultats de [20] et répond totalement aux questions étudiées dans [15] et [16] pour les paires duales de type II.},
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References

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  1. [1] I. N. Bernšteĭn, Representations of p -adic groups, Notes by K.E. Rumelhart, Harvard Univ., 1992. 
  2. [2] I. N. Bernšteĭn & A. V. Zelevinskiĭ, Representations of the group GL ( n , F ) , where F is a local non-Archimedean field, Uspehi Mat. Nauk31 (1976), 5–70. Zbl0342.43017
  3. [3] N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 2, Hermann, Paris, 1970. 
  4. [4] C. J. Bushnell, Representations of reductive p -adic groups : localization of Hecke algebras and applications, J. London Math. Soc.63 (2001), 364–386. Zbl1017.22011MR1810135
  5. [5] W. Casselman, Introduction to the theory of admissible representations of p -adic reductive groups, preprint http://www.math.ubc.ca/~cass/research.html. 
  6. [6] R. Godement & H. Jacquet, Zeta functions of simple algebras, Lecture Notes in Math., Vol. 260, Springer, 1972. Zbl0244.12011
  7. [7] M. Harris, S. S. Kudla & W. J. Sweet, Theta dichotomy for unitary groups, J. Amer. Math. Soc.9 (1996), 941–1004. Zbl0870.11026
  8. [8] M. Harris & R. Taylor, The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Annals of Mathematics Studies 151, Princeton University Press, 2001. Zbl1036.11027
  9. [9] G. Henniart, Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL ( n ) sur un corps p -adique, Invent. Math.139 (2000), 439–455. Zbl1048.11092MR1738446
  10. [10] S. S. Kudla, Notes on the local theta correspondence, in Lectures notes from the European School on Group Theory, Schloß Hirschberg, Germany, 1966. Zbl0583.22010
  11. [11] S. S. Kudla, On the local theta-correspondence, Invent. Math.83 (1986), 229–255. Zbl0583.22010MR818351
  12. [12] A. Mínguez, Correspondance de Howe l -modulaire : paires duales de type II, Thèse, Université d’Orsay, 2006. 
  13. [13] A. Mínguez, Sur l’irréductibilité d’une induite parabolique, preprint à paraître dans J. reine angew. Math.. Zbl1172.22008
  14. [14] C. Mœglin, M.-F. Vignéras & J.-L. Waldspurger, Correspondances de Howe sur un corps p -adique, Lecture Notes in Math. 1291, Springer, 1987. Zbl0642.22002
  15. [15] G. Muić, Howe correspondence for discrete series representations ; the case of ( Sp ( n ) , O ( V ) ) , J. reine angew. Math. 567 (2004), 99–150. Zbl1037.22037MR2038306
  16. [16] G. Muić, Theta lifts of tempered representations for dual pairs S p ( 2 n ) , O ( V ) , à paraître dans Canad. J. Math.. Zbl1155.22012MR2462449
  17. [17] A. J. Silberger, The Langlands quotient theorem for p -adic groups, Math. Ann.236 (1978), 95–104. Zbl0362.20029MR507262
  18. [18] M. Tadić, Induced representations of GL ( n , A ) for p -adic division algebras, J. reine angew. Math. 405 (1990), 48–77. Zbl0684.22008MR1040995
  19. [19] J.-L. Waldspurger, Démonstration d’une conjecture de dualité de Howe dans le cas p -adique, p ≠ 2 , in Festschrift in honor of I. I. Piatetski-Shapiro on the occasion of his sixtieth birthday, Israel Math. Conf. Proc. 2, Weizmann, 1990, 267–324. Zbl0722.22009MR1159105
  20. [20] T. Watanabe, The local theta correspondence of irreducible type 2 dual reductive pairs, Tohoku Math. J.47 (1995), 521–540. Zbl0842.11023MR1359725
  21. [21] A. V. Zelevinsky, Induced representations of reductive p -adic groups. II. On irreducible representations of GL ( n ) , Ann. Sci. École Norm. Sup. 13 (1980), 165–210. Zbl0441.22014MR584084

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