On certain pseudogroups of germs of biholomorphisms of ( ℂ n , 0 )

Michel Belliart

Bulletin de la Société Mathématique de France (2001)

  • Volume: 129, Issue: 2, page 259-284
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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Let Γ be a pseudogroup of local holomorphic transformations of ℂ n fixing zero. We study the dynamics of Γ . We show that if Γ contains two elements whose 2-jets are in “general position” and sufficiently near the identity, then: 1) Γ acts minimally on the bundle of infinite-order jets on some pointed neighborhood ℬ of 0 (that is to say: for any z 0 , z 1 ∈ ℬ and any germ φ : z 0 → z 1 of biholomorphism, there exists a sequence γ n ∈ Γ which converges to φ uniformly on some neighborhood of  z 0 ). 2)  Γ  preserves no geometric structure near 0 (this is a trivial consequence of 1). 3) For any holomorphic pseudogroup topologically conjugate to Γ , the germ of conjugacy at  0 is either holomorphic or antiholomorphic. The main feature of the proof is to attach to any pseudogroup Γ a sheaf 𝔤 Γ of Lie algebrae on ℂ n such that Γ is “dense” in 𝔤 Γ in a natural sense. Then we prove that under some natural assumption on Γ , 𝔤 Γ ( U ) must be the sheaf of all holomorphic vector fields for any U open in ℬ , where  ℬ is the (open) complementary of 0 in its basin of attraction.

How to cite

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Belliart, Michel. "Sur certains pseudogroupes de biholomorphismes locaux de $(\mathbb {C}^n,0)$." Bulletin de la Société Mathématique de France 129.2 (2001): 259-284. <http://eudml.org/doc/272370>.

@article{Belliart2001,
abstract = {On montre que si $\Gamma $ est un pseudogroupe de transformations locales holomorphes de $\mathbb \{C\}^n$ en zéro contenant deux éléments “en position générale” et proches de l’identité, alors : 1) L’action de $\Gamma $ sur le fibré des jets d’ordre infini sur un petit voisinage épointé $\mathcal \{B\}$ de $0$ est minimale (c’est-à-dire que si $z_0,z_1\in \mathcal \{B\}$ et si $\phi :z_0\rightarrow z_1$ est un germe de biholomorphisme alors il existe une suite $\gamma _n\in \Gamma $ qui converge vers $\phi $ uniformément au voisinage de $z_0$). 2) $\Gamma $ ne préserve aucune structure géométrique au voisinage de $0$ (c’est une conséquence triviale du point 1). 3) Si un autre pseudogroupe holomorphe est topologiquement conjugué à $\Gamma $ alors la conjugaison est ou bien holomorphe, ou bien antiholomorphe. L’ingrédient principal de la preuve est la construction, pour tout pseudogroupe $\Gamma $, d’un faisceau $\mathfrak \{g\}_\Gamma $ d’algèbres de Lie sur $\mathbb \{C\}^n$ dans lequel $\Gamma $ est “dense” en un sens naturel. Ensuite, on prouve que si $\Gamma $ satisfait une hypothèse naturelle alors $\mathfrak \{g\}_\Gamma (U)$ contient tout champ de vecteur holomorphe sur $U$, pour tout $U$ ouvert dans $\mathcal \{B\}$ où $\mathcal \{B\}$ est le complémentaire (ouvert) de $0$ dans son bassin d’attraction.},
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TY - JOUR
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JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2001
PB - Société mathématique de France
VL - 129
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AB - On montre que si $\Gamma $ est un pseudogroupe de transformations locales holomorphes de $\mathbb {C}^n$ en zéro contenant deux éléments “en position générale” et proches de l’identité, alors : 1) L’action de $\Gamma $ sur le fibré des jets d’ordre infini sur un petit voisinage épointé $\mathcal {B}$ de $0$ est minimale (c’est-à-dire que si $z_0,z_1\in \mathcal {B}$ et si $\phi :z_0\rightarrow z_1$ est un germe de biholomorphisme alors il existe une suite $\gamma _n\in \Gamma $ qui converge vers $\phi $ uniformément au voisinage de $z_0$). 2) $\Gamma $ ne préserve aucune structure géométrique au voisinage de $0$ (c’est une conséquence triviale du point 1). 3) Si un autre pseudogroupe holomorphe est topologiquement conjugué à $\Gamma $ alors la conjugaison est ou bien holomorphe, ou bien antiholomorphe. L’ingrédient principal de la preuve est la construction, pour tout pseudogroupe $\Gamma $, d’un faisceau $\mathfrak {g}_\Gamma $ d’algèbres de Lie sur $\mathbb {C}^n$ dans lequel $\Gamma $ est “dense” en un sens naturel. Ensuite, on prouve que si $\Gamma $ satisfait une hypothèse naturelle alors $\mathfrak {g}_\Gamma (U)$ contient tout champ de vecteur holomorphe sur $U$, pour tout $U$ ouvert dans $\mathcal {B}$ où $\mathcal {B}$ est le complémentaire (ouvert) de $0$ dans son bassin d’attraction.
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References

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