Discretisation of Schrodinger operators on torus

Laurent Chaumard

Bulletin de la Société Mathématique de France (2006)

  • Volume: 134, Issue: 3, page 327-355
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

top
We propose two results concerning the ζ -regularised determinant det ζ A of a Schrödinger operator A = Δ g + V on a compact riemannian manifold ( ℳ , g ) . For ℳ = S 1 × S 1 , we construct a sequence ( G n , ρ n , Δ n ) where G n is a finite graph injected in ℳ via ρ n , in such a way that ρ n ( G n ) triangulates ℳ . Δ n is a discrete laplacian on G n so that for every potential V on ℳ , the sequence det ( Δ n + V ) converges, after normalisation, to det ζ ( Δ g + V ) . Last, we give on every riemannian compact manifold ( ℳ , g ) whose dimension is less than or equal to 3 and with a transitiv isometry group, the maximum of the determinant det ζ ( Δ g + V ) .

How to cite

top

Chaumard, Laurent. "Discrétisation de zeta-déterminants d’opérateurs de Schrödinger sur le tore." Bulletin de la Société Mathématique de France 134.3 (2006): 327-355. <http://eudml.org/doc/272394>.

@article{Chaumard2006,
abstract = {Nous donnons ici deux résultats sur le déterminant $\zeta $-régularisé $\det _\zeta A$ d’un opérateur de Schrödinger $A=\Delta _g+V$ sur une variété compacte $\mathcal \{M\} $. Nous construisons, pour $\mathcal \{M\} =S^1 \times S^1$, une suite $(G_n,\rho _n, \Delta _n)$ où $G_n$ est un graphe fini qui se plonge dans $\mathcal \{M\} $ via $\rho _n$ de telle manière que $\rho _n(G_n)$ soit une triangulation de $\mathcal \{M\} $ et où $\Delta _n$ est un laplacien discret sur $G_n$ tel que pour tout potentiel $V$ sur $\mathcal \{M\} $, la suite de réels $\det (\Delta _n+V)$ converge après renormalisation vers $\det _\zeta (\Delta _g+V)$. Enfin, nous donnons sur toute variété riemannienne compacte $(\mathcal \{M\} ,g)$ de dimension inférieure ou égale à $3$ et de groupe d’isométries transitif, un majorant du déterminant $\det _\zeta (\Delta _g+V)$, lorsque le potentiel $V$ est positif.},
author = {Chaumard, Laurent},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {déterminant zeta-régularisé; théorie spectrale des graphes et des surfaces; discrétisation; fonction zeta; opérateur de schrödinger; opérateurs pseudo-différentiels; géométrie riemannienne; spectral theory of graphs and surfaces},
language = {fre},
number = {3},
pages = {327-355},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Discrétisation de zeta-déterminants d’opérateurs de Schrödinger sur le tore},
url = {http://eudml.org/doc/272394},
volume = {134},
year = {2006},
}

TY - JOUR
AU - Chaumard, Laurent
TI - Discrétisation de zeta-déterminants d’opérateurs de Schrödinger sur le tore
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2006
PB - Société mathématique de France
VL - 134
IS - 3
SP - 327
EP - 355
AB - Nous donnons ici deux résultats sur le déterminant $\zeta $-régularisé $\det _\zeta A$ d’un opérateur de Schrödinger $A=\Delta _g+V$ sur une variété compacte $\mathcal {M} $. Nous construisons, pour $\mathcal {M} =S^1 \times S^1$, une suite $(G_n,\rho _n, \Delta _n)$ où $G_n$ est un graphe fini qui se plonge dans $\mathcal {M} $ via $\rho _n$ de telle manière que $\rho _n(G_n)$ soit une triangulation de $\mathcal {M} $ et où $\Delta _n$ est un laplacien discret sur $G_n$ tel que pour tout potentiel $V$ sur $\mathcal {M} $, la suite de réels $\det (\Delta _n+V)$ converge après renormalisation vers $\det _\zeta (\Delta _g+V)$. Enfin, nous donnons sur toute variété riemannienne compacte $(\mathcal {M} ,g)$ de dimension inférieure ou égale à $3$ et de groupe d’isométries transitif, un majorant du déterminant $\det _\zeta (\Delta _g+V)$, lorsque le potentiel $V$ est positif.
LA - fre
KW - déterminant zeta-régularisé; théorie spectrale des graphes et des surfaces; discrétisation; fonction zeta; opérateur de schrödinger; opérateurs pseudo-différentiels; géométrie riemannienne; spectral theory of graphs and surfaces
UR - http://eudml.org/doc/272394
ER -

References

top
  1. [1] D. Burgheela, L. Friedlander & T. Kappeler – « On the determinant of elliptic differential and finite difference operators in vector bundles over S 1 », Comm. Math. Phys.138 (1991), p. 1–18. Zbl0734.58043MR1108033
  2. [2] —, « On the determinant of elliptic boundary value problems on a line segment », Proc. Amer. Math. Soc.123 (1995), p. 3027–3038. Zbl0848.34063MR1301012
  3. [3] Y. Colin De Verdière – Spectres de graphes, Cours spécialisés, vol. 4, Société Mathématique de France, 1998. Zbl0913.05071MR1652692
  4. [4] —, « Déterminants et intégrales de Fresnel », Ann. Inst. Fourier49 (1999), p. 861–881. Zbl0920.35042MR1703428
  5. [5] B. Duplantier & F. David – « Exact partition functions and correlation functions of multiple Hamiltonian walks on the Manhattan lattice », J. Statist. Phys.51 (1988), p. 327–434. Zbl1086.82501MR952941
  6. [6] R. Forman – « Functional determinants and geometry », Invent. Math.88 (1987), p. 447–493. Zbl0602.58044MR884797
  7. [7] —, « Determinants, finite-difference operators and boundary value problems », Comm. Math. Phys.147 (1992), p. 485–526. Zbl0767.58043MR1175491
  8. [8] P. B. Gilkey – « Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah-Singer Index Theorem, 2nd ed. », Studies in Advanced Mathematics, 1994. Zbl0565.58035MR1396308
  9. [9] R. Kenyon – « The asymptotic determinant of the discrete laplacian », Acta Math.185 (2000), p. 239–286. Zbl0982.05013MR1819995
  10. [10] K. Okikiolu – « Critical metrics for the determinant of the Laplacian in odd dimensions », Ann. of Math.153 (2001), p. 471–531. Zbl0985.58013MR1829756
  11. [11] B. Osgood, R. Phillips & P. Sarnak – « Compact isospectral sets of surfaces », J. Funct. Anal.80 (1988), p. 212–234. Zbl0653.53021MR960229
  12. [12] —, « Extremals of determinants of laplacians », J. Funct. Anal.80 (1988), p. 148–211. Zbl0653.53022MR960228
  13. [13] M. Pollicott & A. C. Rocha – « A remarkable formula for the determinant of the Laplacian », Invent. Math.130 (1997), p. 399–414. Zbl0896.58067MR1474163
  14. [14] D. B. Ray & I. M. Singer – « R-Torsion and the Laplacian on Riemannian Manifolds », Advances Math.7 (1971), p. 145–210. Zbl0239.58014MR295381
  15. [15] M. A. Shubin – Pseudodifferential operators and spectral theory, Springer Verlag, 1980. Zbl0616.47040MR1852334
  16. [16] B. Simon – « Trace ideals and their applications », Lecture Note Series, vol. 35, London Mathematical Society, Cambridge University Press, 1979. Zbl0423.47001MR541149

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.