Conductor, Descent and Pinching

Daniel Ferrand

Bulletin de la Société Mathématique de France (2003)

  • Volume: 131, Issue: 4, page 553-585
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

top
This paper investigates some fiber products of rings, and dually some pushouts of schemes. The algebraic side is centered on the use of the conductor to solve some descent problems, problems which can be better reached by comparing suitable categories of modules on the fiber product of rings, with the fiber product of the similar categories for each of the factors. The main algebraic result (§2.2) asserts that these categories are very close to be equivalent, and that they are indeed equivalent as long as one restricts to flat modules. The geometric side is concerned with the existence of schemes defined by pinching: starting with a scheme X ' , a closed subscheme Y ' and a finite morphism Y ' → Y , the “pinching construction” is intended to produce a scheme X which is the pushout of X ' along the morphism Y ' → Y ; such a scheme is proved to exist (§5.4) under the mild asumption that any finite set of points in X ' (resp. in Y ) is contained in an open affine subset of  X ' (resp. of Y ).

How to cite

top

Ferrand, Daniel. "Conducteur, descente et pincement." Bulletin de la Société Mathématique de France 131.4 (2003): 553-585. <http://eudml.org/doc/272404>.

@article{Ferrand2003,
abstract = {Une somme amalgamée de schémas est décrite localement par un produit fibré d’anneaux. Ce texte donne un résultat global d’existence (§5.4) de schémas définis comme certaines sommes amalgamées et un procédé algébrique (§2.2) pour décrire les modules sur produits fibrés d’anneaux correspondants.},
author = {Ferrand, Daniel},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {fiber product; pushout; finite descent; pinching},
language = {fre},
number = {4},
pages = {553-585},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Conducteur, descente et pincement},
url = {http://eudml.org/doc/272404},
volume = {131},
year = {2003},
}

TY - JOUR
AU - Ferrand, Daniel
TI - Conducteur, descente et pincement
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2003
PB - Société mathématique de France
VL - 131
IS - 4
SP - 553
EP - 585
AB - Une somme amalgamée de schémas est décrite localement par un produit fibré d’anneaux. Ce texte donne un résultat global d’existence (§5.4) de schémas définis comme certaines sommes amalgamées et un procédé algébrique (§2.2) pour décrire les modules sur produits fibrés d’anneaux correspondants.
LA - fre
KW - fiber product; pushout; finite descent; pinching
UR - http://eudml.org/doc/272404
ER -

References

top
  1. [1] S. Anantharaman – Schémas en groupes, espaces homogènes et espaces algébriques sur une base de dimension 1 , Mém. Soc. Math. France, vol. 33, Soc. Math. France, Paris, 1973. Zbl0286.14001MR318167
  2. [2] M. Artin – « Algebraization of Formal Moduli II : Existence of Modifications », Annals of Math.91 (1970), p. 88–135. Zbl0185.24701MR260747
  3. [3] H. Bass – Algebraic K-Theory, Benjamin, 1968. Zbl0174.30302MR249491
  4. [4] J. Bénabou & J. Roubaud – « Monades et descente », C. R. Acad. Sci. Paris270 (1970), p. 96–98. Zbl0287.18007MR255631
  5. [5] N. Bourbaki – Algèbre commutative, Masson, Paris, 1961–1998. MR2272929
  6. [6] —, Topologie générale, chap. 1 à 4, Masson, Paris, 1990. 
  7. [7] P. Colmez & J.-P. Serre (éds.) – Correspondance Grothendieck-Serre, Documents mathématiques, vol. 2, Soc. Math. France, Paris, 2001. Zbl0986.01019MR1942134
  8. [8] D. Ferrand – « Descente de la platitude par un homomorphisme fini », C. R. Acad. Sci. Paris269 (1969), p. 946–949. Zbl0185.10001MR260783
  9. [9] A. Grothendieck – Éléments de géométrie algébrique, rédigés avec la collaboration de J.Dieudonné, chap.I, Springer-Verlag, 1971 ; chap.II–IV, Publ. Math. I.H.E.S., 1961–1967. Zbl0203.23301
  10. [10] —, « Techniques de descente et théorèmes d’existence en géométrie algébrique, I », Séminaire Bourbaki, 1959/60, Soc. Math. France, Paris, 1995, exposé190. Zbl0229.14007
  11. [11] A. Levelt – Sur la pro-représentabilité de certains foncteurs en géométrie algébrique, Katholieke Universiteit, Nijmegen, 1964, notes multigraphiées. 
  12. [12] J. Milnor – Introduction to Algebraic K-Theory, Ann. Math. Studies, vol. 72, Princeton University Press, 1971. Zbl0237.18005MR349811
  13. [13] J.-P. Olivier – « Anneaux absolument plats universels », in [18], exposé 6. MR379471
  14. [14] —, « L’anneau absolument plat universel, les épimorphismes et les parties constructibles », Bol. Soc. Mat. Mexicana 23 (1978), no. 2, p. 68–74. Zbl0447.13003MR579664
  15. [15] A. Philippe – « Morphisme net d’anneaux et descente », Bull. Sci. Math. 97 (1973), no. 2, p. 57–64. Zbl0288.13008MR332935
  16. [16] M. Raynaud – « Un critère d’effectivité de descente », in [18], exposé 5. Zbl0165.24002
  17. [17] —, « Passage au quotient par une relation d’équivalence plate », Proc. Conf. on Local Fields, Springer-Verlag, 1967, p. 78–85. Zbl0165.24003MR232781
  18. [18] P. Samuel (éd.) – Séminaire d’algèbre commutative, 1967/68 : Les épimorphismes d’anneaux, E.N.S.J.F., 1968. Zbl0165.05203
  19. [19] J.-P. Serre – Groupes algébriques et corps de classes, Hermann, Paris, 1959. Zbl0718.14001MR103191
  20. [20] J. Venken – « Non effectivité de la descente de modules plats par un morphisme fini d’anneaux locaux artiniens », C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A-B 272 (1971), p. A1553–A1554. Zbl0216.32703MR289505

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.