Mass of cusps, time of return and windings in negative curvature

Nathanaël Enriquez; Jacques Franchi

Bulletin de la Société Mathématique de France (2002)

  • Volume: 130, Issue: 3, page 349-386
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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Let Γ be a geometrically finite discrete group of isometries of a Hadamard manifold X , and 𝒫 a cusp of the orbifold associated to ℳ : = Γ ∖ X . T 1 ℳ being endowed with its Bowen-Margulis-Patterson-Sullivan m , we obtain the asymptotic of the mass of a small horocyclic neighbourhood of 𝒫 , after introducing an assumption on the growth of the parabolic neighbourhood associated with 𝒫 , which is automatically verified when X is symmetric of rank 1. We deduce the asymptotic of the time of return of the geodesic flow near 𝒫 . In the special case of real and complex hyperbolic orbifolds, we precise these asymptotics, and we compute also the asmptotic law of the winding of the geodesic flow near  𝒫 .

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Enriquez, Nathanaël, and Franchi, Jacques. "Masse des pointes, temps de retour et enroulements en courbure négative." Bulletin de la Société Mathématique de France 130.3 (2002): 349-386. <http://eudml.org/doc/272473>.

@article{Enriquez2002,
abstract = {Soient $\Gamma $ un groupe discret géométriquement fini d’isométries d’une variété de Hadamard pincée $ X $ et $\mathcal \{P\} $ une pointe de l’orbifold associé $ \mathcal \{M\} :=\Gamma \setminus X $. Munissant $ T^1\mathcal \{M\} $ de sa mesure de Patterson-Sullivan $ m $, nous obtenons une estimation asymptotique de la masse d’un petit voisinage horocyclique de $\mathcal \{P\} $, moyennant une hypothèse sur la croissance du sous-groupe parabolique associé à $\mathcal \{P\}$, hypothèse qui est réalisée si $ X $ est symétrique de rang $1$. Nous en déduisons une estimation asymptotique du temps de retour du flot géodésique près de $\mathcal \{P\} $, et de la loi de la durée d’une excursion du flot géodésique près de $\mathcal \{P\}$. Dans le cas particulier des orbifolds hyperboliques réels ou complexes, nous précisons ces estimations, et nous calculons de plus la loi asymptotique de l’enroulement d’une excursion du flot géodésique près de $\mathcal \{P\}$.},
author = {Enriquez, Nathanaël, Franchi, Jacques},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
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publisher = {Société mathématique de France},
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TY - JOUR
AU - Enriquez, Nathanaël
AU - Franchi, Jacques
TI - Masse des pointes, temps de retour et enroulements en courbure négative
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2002
PB - Société mathématique de France
VL - 130
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SP - 349
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AB - Soient $\Gamma $ un groupe discret géométriquement fini d’isométries d’une variété de Hadamard pincée $ X $ et $\mathcal {P} $ une pointe de l’orbifold associé $ \mathcal {M} :=\Gamma \setminus X $. Munissant $ T^1\mathcal {M} $ de sa mesure de Patterson-Sullivan $ m $, nous obtenons une estimation asymptotique de la masse d’un petit voisinage horocyclique de $\mathcal {P} $, moyennant une hypothèse sur la croissance du sous-groupe parabolique associé à $\mathcal {P}$, hypothèse qui est réalisée si $ X $ est symétrique de rang $1$. Nous en déduisons une estimation asymptotique du temps de retour du flot géodésique près de $\mathcal {P} $, et de la loi de la durée d’une excursion du flot géodésique près de $\mathcal {P}$. Dans le cas particulier des orbifolds hyperboliques réels ou complexes, nous précisons ces estimations, et nous calculons de plus la loi asymptotique de l’enroulement d’une excursion du flot géodésique près de $\mathcal {P}$.
LA - fre
KW - hyperbolic manifold of infinite volume; Patterson-Sullivan measure; Palm measure
UR - http://eudml.org/doc/272473
ER -

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