A characterization of the local Langlands correspondence for GL ( n )

Guy Henniart

Bulletin de la Société Mathématique de France (2002)

  • Volume: 130, Issue: 4, page 587-602
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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Let F be a locally compact non-Archimedean field and ψ a non-trivial additive character of F . The local Langlands correspondence gives for each positive integer  n a one-to-one map σ ↦ π n ( σ ) from the set 𝒢 F ( n ) of isomorphism classes of degree  n representations of the Weil-Deligne group of F onto the set 𝒜 F ( n ) of isomorphism classes of smooth irreducible representations of GL n ( F ) . Class-field theory gives the map π 1 and for σ ∈ 𝒢 F ( n ) , σ ' ∈ 𝒢 F ( n ' ) , we have L ( s , σ ⊗ σ ' ) = L ( s , π n ( σ ) × π n ' ( σ ' ) ) , ε ( s , σ ⊗ σ ' , ψ ) = ε ( s , π n ( σ ) × π n ' ( σ ' ) , ψ ) . We prove that such properties characterize the family of maps ( π n ) .

How to cite

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Henniart, Guy. "Une caractérisation de la correspondance de Langlands locale pour ${\rm GL}(n)$." Bulletin de la Société Mathématique de France 130.4 (2002): 587-602. <http://eudml.org/doc/272501>.

@article{Henniart2002,
abstract = {Soient $F$ un corps commutatif localement compact non archimédien et $\psi $ un caractère non trivial du groupe additif de $F$. La correspondance de Langlands locale donne, pour chaque entier $n\ge 1$, une bijection $\sigma \mapsto \pi _n(\sigma )$ de l’ensemble $\{\mathcal \{G\}\}_F(n)$ des classes d’isomorphisme de représentations de dimension $n$ du groupe de Weil-Deligne de $F$ sur l’ensemble $\{\mathcal \{A\}\}_F(n)$ des classes d’isomorphisme de représentations lisses irréductibles de $\mathrm \{GL\}_n(F)$. La bijection $\pi _1$ est donnée par la théorie locale du corps de classes, et pour $\sigma \in \{\mathcal \{G\}\}_F(n)$, $\sigma ^\{\prime \}\in \{\mathcal \{G\}\}_F(n^\{\prime \})$, on a\[ L(s,\sigma \otimes \sigma ^\{\prime \}) &=L(s,\pi \_n(\sigma )\times \pi \_\{n^\{\prime \}\}(\sigma ^\{\prime \})), \\ \varepsilon (s,\sigma \otimes \sigma ^\{\prime \},\psi ) &=\varepsilon (s,\pi \_n(\sigma )\times \pi \_\{n^\{\prime \}\}(\sigma ^\{\prime \}),\psi ). \]Nous prouvons que ces propriétés caractérisent la famille d’applications $(\pi _n)$.},
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TY - JOUR
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LA - fre
KW - local field; Langlands correspondence; $L$-function; $\varepsilon $-factor
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ER -

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