On varieties X ⊂ ℙ N such that a curve of X of given degree passes through n points of X

Luc Pirio; Jean-Marie Trépreau

Bulletin de la Société Mathématique de France (2013)

  • Volume: 141, Issue: 1, page 131-195
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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For given integers r ≥ 1 , n ≥ 2 and q ≥ n - 1 , we introduce the class 𝒳 r + 1 , n ( q ) of ( r + 1 ) -dimensional subvarieties X of a projective space, such that: any generic set of n points of X is contained in a rational normal curve on X , of degree q ; X spans a projective space the dimension of which is the biggest possible, considering the first property. Our main result is the following.Theorem. —If q ≠ 2 n - 3 and X ∈ 𝒳 r + 1 , n ( q ) , there exists a variety X 0 in ℙ r + n - 1 , of dimension r + 1 and minimal degree n - 1 , and a birational map X 0 ⤏ X , such that a section of X 0 by a generic ℙ n - 1 is mapped onto a rational normal curve of degree  q .Without any assumption on q , we say that a variety X ∈ 𝒳 r + 1 , n ( q ) isstandardif it satisfies the conclusion of the preceding theorem. Building upon the classification of varieties of minimal degree, which is well-known, we give a complete classification of standard varieties in each class 𝒳 r + 1 , n ( q ) . The existence and classification of non-standard varieties X ∈ 𝒳 r + 1 , n ( 2 n - 3 ) , for r ≥ 2 and n ≥ 3 , remains an open problem. However, though the condition q ≠ 2 n - 3 in the theorem above may not be sharp, we give examples of non-standard varieties in 𝒳 r + 1 , 3 ( 3 ) and in 𝒳 r + 1 , 4 ( 5 ) . In the general case, if X ∈ 𝒳 r + 1 , n ( q ) , we show that the space of rational normal curves of degree q on X carries a natural quasi-grassmannian structure. Our second main result is:Theorem. —A variety X ∈ 𝒳 r + 1 , n ( q ) is standard if and only if the associated quasi-grassmannian structure is integrable, that is locally isomorphic to the natural stucture of the grassmannian of ( n - 1 ) -planes in ℙ r + n - 1 . In a forthcoming paper we shall apply our results to the so-called Problem of algebraization of webs of maximal rank, giving in most cases a solution to a question first raised, in this generality, by Chern and Griffiths.

How to cite

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Pirio, Luc, and Trépreau, Jean-Marie. "Sur les variétés $X\subset \mathbb {P}^N$ telles que par $n$ points passe une courbe de $X$ de degré donné." Bulletin de la Société Mathématique de France 141.1 (2013): 131-195. <http://eudml.org/doc/272641>.

@article{Pirio2013,
abstract = {Soit $\,r\ge 1$, $\,n\ge 2$, et $\,q\ge n-1$ des entiers. On introduit la classe $\mathcal \{X\}_\{r+1,n\}(q)$ des sous-variétés $X$ de dimension $r+1$ d’un espace projectif, telles que pour $(x_1,\ldots ,x_n)\in X^n$ générique, il existe une courbe rationnelle normale de degré $q$, contenue dans $X$ et passant par les points $x_1,\ldots ,x_n$ ; $X$ engendre un espace projectif dont la dimension, pour $r$, $n$ et $q$ donnés, est la plus grande possible compte tenu de la première propriété. Sous l’hypothèse $q\ne 2n-3$, on détermine toutes les variétés $X$ appartenant à la classe $\mathcal \{X\}_\{r+1,n\}(q)$. On montre en particulier qu’il existe une variété $X_0\subset \mathbb \{P\}^\{r+n-1\}$ de degré minimal $n-1$ et une application birationnelle $X_0\dasharrow X$ qui envoie une section de $X_0$ par un $\mathbb \{P\}^\{n-1\}\subset \mathbb \{P\}^\{r+n-1\}$ générique sur une courbe rationnelle normale de degré $q$. Sans hypothèse sur $q$, on définit sur l’espace des courbes rationnelles normales de degré $q$ contenues dans la variété $X\in \mathcal \{X\}_\{r+1,n\}(q)$ une structure quasi-grassmannienne. La variété $X$ est de la forme précédente si et seulement si cette structure est localement isomorphe à la structure standard, celle de la grassmannienne des $(n-1)$-plans de $\mathbb \{P\}^\{r+n-1\}$. Le problème de la détermination des variétés $X\in \mathcal \{X\}_\{r+1,n\}(2n-3)$ reste ouvert. Nous donnons quelques exemples de variétés des classes $\mathcal \{X\}_\{r+1,3\}(3)$ et $\mathcal \{X\}_\{r+1,4\}(5)$ qui ne sont pas de la forme qu’on vient de décrire. Nous avons été conduits à l’étude des variétés $X\in \mathcal \{X\}_\{r+1,n\}(q)$ par nos travaux sur le problème de l’algébrisation des $d$-tissus, de codimension $r$ sur une variété de dimension $rn$, qui sont de rang maximal. Ce problème, considéré d’abord, dans cette généralité, par Chern et Griffiths [3]–[4], a été récemment résolu pour $r=1$ dans Trépreau [22]. Le cas général fait l’objet d’un article en cours de préparation, qui utilise le résultat principal obtenu ici, voir Pirio-Trépreau [19].},
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