Linear representations of Kähler groups and of their projective analogues

Fréderic Campana[1]; Benoît Claudon[2]; Philippe Eyssidieux[3]

  • [1] Institut Élie Cartan Nancy, UMR 7502, Université de Lorraine B.P. 70239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy Cedex, France
  • [2] UMI CNRS/IMPA Estrada Dona Castorina 110, Jardim Botânico, 22460-320, Rio de Janeiro, Brasil
  • [3] Institut Fourier, Université Grenoble 1 38402 Saint-Martin d’Hères Cedex, France

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques (2014)

  • Volume: 1, page 331-342
  • ISSN: 2270-518X

Abstract

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In this note we establish the following result, announced in [CCE13]: if G ⊂ GL n ( ℂ ) is the image of a linear representation of a Kähler group π 1 ( X ) , then it has a subgroup of finite index which is the image of a linear representation of the fundamental group of some smooth complex projective variety X ' .This result provides thus, for linear representations, the solution (up to finite index) of a usual question asking if the fundamental group of a compact Kähler manifold X is also that of a smooth complex projective variety.

How to cite

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Campana, Fréderic, Claudon, Benoît, and Eyssidieux, Philippe. "Représentations linéaires des groupes kählériens et de leurs analogues projectifs." Journal de l’École polytechnique — Mathématiques 1 (2014): 331-342. <http://eudml.org/doc/275443>.

@article{Campana2014,
abstract = {Dans cette note nous établissons le résultat suivant, annoncé dans [CCE13] : si $G\subset \mathrm\{GL\}_n(\mathbb\{C\})$ est l’image d’une représentation linéaire d’un groupe kählérien $\pi _1(X)$, il admet un sous-groupe d’indice fini qui est l’image d’une représentation linéaire du groupe fondamental d’une variété projective complexe lisse $X^\{\prime \}$.Il s’agit donc de la solution (à indice fini près) pour les représentations linéaires d’une question usuelle demandant si le groupe fondamental d’une variété kählérienne compacte est aussi celui d’une variété projective complexe lisse.},
affiliation = {Institut Élie Cartan Nancy, UMR 7502, Université de Lorraine B.P. 70239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy Cedex, France; UMI CNRS/IMPA Estrada Dona Castorina 110, Jardim Botânico, 22460-320, Rio de Janeiro, Brasil; Institut Fourier, Université Grenoble 1 38402 Saint-Martin d’Hères Cedex, France},
author = {Campana, Fréderic, Claudon, Benoît, Eyssidieux, Philippe},
journal = {Journal de l’École polytechnique — Mathématiques},
keywords = {Kähler groups; Kodaira problem; smooth family of complex tori; relative deformations},
language = {fre},
pages = {331-342},
publisher = {École polytechnique},
title = {Représentations linéaires des groupes kählériens et de leurs analogues projectifs},
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volume = {1},
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TY - JOUR
AU - Campana, Fréderic
AU - Claudon, Benoît
AU - Eyssidieux, Philippe
TI - Représentations linéaires des groupes kählériens et de leurs analogues projectifs
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PB - École polytechnique
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AB - Dans cette note nous établissons le résultat suivant, annoncé dans [CCE13] : si $G\subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ est l’image d’une représentation linéaire d’un groupe kählérien $\pi _1(X)$, il admet un sous-groupe d’indice fini qui est l’image d’une représentation linéaire du groupe fondamental d’une variété projective complexe lisse $X^{\prime }$.Il s’agit donc de la solution (à indice fini près) pour les représentations linéaires d’une question usuelle demandant si le groupe fondamental d’une variété kählérienne compacte est aussi celui d’une variété projective complexe lisse.
LA - fre
KW - Kähler groups; Kodaira problem; smooth family of complex tori; relative deformations
UR - http://eudml.org/doc/275443
ER -

References

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  1. D. Arapura, Homomorphisms between Kähler groups, Topology of algebraic varieties and singularities 538 (2011), 95-111, American Mathematical Society, Providence, RI Zbl1221.32007MR2777817
  2. C. Birkenhake, H. Lange, Complex abelian varieties, 302 (2004), Springer-Verlag, Berlin Zbl0779.14012MR2062673
  3. O. Baues, J. Riesterer, Virtually abelian Kähler and projective groups, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 81 (2011), 191-213 Zbl1254.32029MR2836631
  4. N. Buchdahl, Algebraic deformations of compact Kähler surfaces, Math. Z. 253 (2006), 453-459 Zbl1118.32016MR2221080
  5. N. Buchdahl, Algebraic deformations of compact Kähler surfaces. II, Math. Z. 258 (2008), 493-498 Zbl1132.32007MR2369040
  6. F. Campana, Isotrivialité de certaines familles kählériennes de variétés non projectives, Math. Z. 252 (2006), 147-156 Zbl1104.32008MR2209156
  7. F. Campana, Coréduction algébrique d’un espace analytique faiblement kählérien compact, Invent. Math. 63 (1981), 187-223 Zbl0436.32024MR610537
  8. F. Campana, B. Claudon, Ph. Eyssidieux, Représentations linéaires des groupes kählériens : factorisations et conjecture de Shafarevich linéaire, (2013) 
  9. B. Claudon, Invariance de la Γ -dimension pour certaines familles kählériennes de dimension 3 , Math. Z. 266 (2010), 265-284 Zbl1197.32009MR2678627
  10. P. Deligne, Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. (1968), 259-278 Zbl0159.22501MR244265
  11. N. Nakayama, Compact Kähler manifolds whose universal covering spaces are biholomorphic to ℂ n , (1991) 
  12. E. Sernesi, Deformations of algebraic schemes, 334 (2006), Springer-Verlag, Berlin Zbl1102.14001MR2247603
  13. J. Varouchas, Stabilité de la classe des variétés kählériennes par certains morphismes propres, Invent. Math. 77 (1984), 117-127 Zbl0529.53049MR751134
  14. C. Voisin, Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe, 10 (2002), Société Mathématique de France, Paris Zbl1032.14001MR1988456
  15. C. Voisin, On the homotopy types of compact Kähler and complex projective manifolds, Invent. Math. 157 (2004), 329-343 Zbl1065.32010MR2076925
  16. C. Voisin, Recent progresses in Kähler and complex algebraic geometry, European Congress of Mathematics (2005), 787-807, Eur. Math. Soc., Zürich Zbl1089.32012MR2185782
  17. C. Voisin, On the homotopy types of Kähler manifolds and the birational Kodaira problem, J. Differential Geom. 72 (2006), 43-71 Zbl1102.32008MR2215455
  18. C. Voisin, Chow rings, decomposition of the diagonal and the topology of families, (2011) Zbl1288.14001

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