Sur le rang des variétés abéliennes sur un corps de fonctions

Amílcar Pacheco[1]

  • [1] Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, rua Alzira Brandão 355/404, Tijuca, 20550-035 Rio de Janeiro, RJ, Brasil

Publications mathématiques de Besançon (2014)

  • Issue: 2, page 31-46
  • ISSN: 1958-7236

Abstract

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This text is a survey on the question of the rank of an abelian variety A defined over a one variable function field K over a base field k . We discuss not only an upper bound for this rank, but also study the behavior of this bound after taking a finite and abelian extension L of K . We ask ourselves : what happens if this hypothesis is suppressed? In a particular case, we discuss the validity of the Lang-Néron theorem. This validity depends on additional hypotheses. At the end of the text, we discuss situations in which these hypotheses are satisfied.

How to cite

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Pacheco, Amílcar. "Sur le rang des variétés abéliennes sur un corps de fonctions." Publications mathématiques de Besançon (2014): 31-46. <http://eudml.org/doc/275680>.

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References

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  1. W. Bauer, On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for abelian varieties over function fields in characteristic p &gt; 0 , Invent. Math. 108 (1992), 263-287. Zbl0807.14014MR1161093
  2. F.A.Bogomolov, Y.G.Zarhin, Ordinary reduction of K3 surfaces, Cent. Eur. J. Math. 7(2009), 206-213. Zbl1178.14039MR2506961
  3. F. Catanese, C. Ciliberto, Symmetric products of elliptic curves and surfaces of general type with p g = q = 1 , J. Alg. Geometry 2 (1993), 389-411. Zbl0791.14015MR1211993
  4. J. Coates, R. Greenberg, Kummer theory for abelian varieties over local fields, Inventiones Math. 124 (1996), 129-174. Zbl0858.11032MR1369413
  5. B. Conrad, Chow’s K / k -image and K / k -trace, and the Lang-Néron theorem, Enseignement Mathématique 52 (2006), 37-108. Zbl1133.14028MR2255529
  6. P. Deligne, Conjectures de Weil I, Publ. Math. IHES 43 (1974) 273-307. Zbl0287.14001MR340258
  7. P. Deligne, Conjectures de Weil II, Publ. Math. IHES 52 (1981) 313-428. Zbl0456.14014
  8. J. Ellenberg, Selmer groups and Mordell-Weil groups of elliptic curves over towers of function fields, Compositio Math. 142 (2006), 1215-1230. Zbl1106.11021MR2264662
  9. M. Hindry, A. Pacheco, R. Wazir, Fibrations et conjectures de Tate, J. Number Theory 112 (2005), 345-368. Zbl1082.11044MR2141536
  10. S. Howson, Euler characteristics as invariants of Iwasawa modules, Proc. London Math. Soc. 85 (2002), 634-658. Zbl1036.11053MR1936815
  11. K. Kato, F. Trihan, On the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture in characteristic p &gt; 0 , Inventiones Math. 153 (2003), 537-592. Zbl1046.11047MR2000469
  12. N. Katz, P. Sarnak, Random matrices, Frobenius eigenvalues and monodromy, AMS Coll. Pub. vol. 45, 1999. Zbl0958.11004MR1659828
  13. N. Katz, Twisted L-functions and monodromy, Annals Math. Studies, Princeton Univ. Press, number 150, 2002. Zbl1029.14005MR1875130
  14. C. Lyons, Large monodromy for a family of surfaces of general type and some arithmetic application, preprint 2011, http://www-personal.umich.edu/~lyonsc/. 
  15. J. S. Milne, The Tate-Shafarevich group of constant abelian variety, Invent. Math. 6 (1968), 91-105. Zbl0159.22402MR244264
  16. J. S. Milne, On a conjecture of Artin and Tate, Annals Math. 102 (1975), 517-533. Zbl0343.14005MR414558
  17. J. S. Milne, Étale cohomology, Princeton University Press, 1980. Zbl0433.14012MR559531
  18. J. S. Milne, Comparison between the Brauer group with the Tate-Šafarevič group, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1A 28 (1981), 735-743. Zbl0503.14010MR656050
  19. K. Nagao, Construction of high rank elliptic curves, Kobe J. Math. 11 (1994), 211-219. Zbl0848.11026MR1329433
  20. K. Nagao, ℚ ( T ) -rank of elliptic curves and certain limit coming from the local points, Manuscripta Math. 92 (1997), 13-32. Zbl0870.11034MR1427665
  21. A. P. Ogg, Cohomology of abelian varieties over function fields, Ann. Math. 76 (1962), 185-212. Zbl0121.38002MR155824
  22. A. Pacheco, On the rank of abelian varieties over function fields, Manuscripta Math. 118 (2005), 361-381. Zbl1082.11037MR2183044
  23. A. Pacheco, Selmer groups of abelian varieties in extensions of function fields, Math. Zeitschrift 261 (2009), 787-804. Zbl1244.11094MR2480758
  24. A. Pacheco, Rational points of Jacobian varieties in pro- ℓ towers of function fields, J. Number Theory 133 (2013), 3517-3523. Zbl1297.11059MR3071826
  25. R. Pink, ℓ -adic monodromy groups, cocharacters and the Mumford-Tate conjecture, J. reine und angewandet Mathematik (Crelle) 495 (1998), 187-237. Zbl0920.14006MR1603865
  26. D. Ramakrishnan, Regulators, algebraic cycles and values of L -functions, in : M. Stein, R. Dennis (Eds.), Algebraic K-Theory and Algebraic Number Theory, American Mathematical Society, Contemp. Math. 83 (1989), 183-310. Zbl0694.14002MR991982
  27. N. Ratazzi, Borne sur la torsion des variétés abéliennes de type CM, Ann. Éc. Normal Sup. Paris 40 (2007), 951-983. Zbl1140.14041MR2419854
  28. M. Raynaud, Caractéristique d’Euler-Poincaré d’un faisceau et cohomologie des variétés abéliennes, Sém. Bourbaki 1964/65, exp. 286, dans “Dix Exposés sur la cohomologie des schémas”, 1968. Zbl0204.54301
  29. P. Schneider, Zur Vermutung von Birch undSwinnerton-Dyer über globalen Funktionenkörpern, Math. Ann. 260 (1982), 495-510. Zbl0509.14022MR670197
  30. J.-P. Serre, Abelian ℓ -adic representations and elliptic curves, 1968. Zbl0186.25701
  31. J.-P. Serre, Propriétés galoisiennes des points d’ordre fini des courbes elliptiques, Invent. Math. 15 (1972), 259-331. Zbl0235.14012MR387283
  32. J.-P. Serre, Résumé des cours au Collège de France, 1984-85, Oeuvres IV, pp. 27-32. 
  33. J.-P. Serre, Cohomologie galoisienne, Lec. Notes Math. 5, Springer-Verlag, 1986. Zbl0259.12011
  34. J.-P. Serre, J. Tate, Good reduction of abelian varieties, Annals of Math. 88 (1968), 492-517. Zbl0172.46101MR236190
  35. P. Deligne, Cohomologie étale (Séminaire de Géométrie Algébrique 4 1/2), Lecture Notes in Math 569, Springer-Verlag, 1977. Zbl0345.00010
  36. A. Grothendieck, Modèles de Néron et monodromie dans SGA 7, Groupes de Monodromie en Géométrie Algébrique, Exp. IX, Lect. Notes in Math 288 (1972), Springer-Verlag. Zbl0248.14006MR354656
  37. G. Shimura, Y. Taniyama, Complex multiplication to abelian varieties and its applications to number theory, Publications of the Japan Mathematical Society, 1971. Zbl0112.03502MR125113
  38. J. Silverman, The rank of elliptic surfaces in unramified abelian towers over number fields, J. reine und angewandet Mathematik (Crelle) 577 (2004), 153-169. Zbl1105.11016MR2108217
  39. J. Tate, Algebraic cycles and poles of zeta-functions, Arithmetical Algebraic Geometry, Harper and Row, New York, 1965, pp. 93-110. Zbl0213.22804MR225778
  40. J. Tate, On the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric analog, Sém. Bourbaki, exp. 305 (1965/66). Zbl0199.55604
  41. D. Ulmer, Elliptic curves with high rank over function fields, Annals of Math. 155 (2002), 295-315. Zbl1109.11314MR1888802

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