Il problema isoperimetrico:una storia lunga 2000 anni

Eleonora Cinti

Matematica, Cultura e Società. Rivista dell'Unione Matematica Italiana (2019)

  • Volume: 4, Issue: 2, page 95-106
  • ISSN: 2499-751X

Abstract

top
In this work, we describe some of the fundamental steps in the history of the isoperimetric problem: starting from the first contributions in the ancient Greece, until its complete resolution in the XX century. We also address some possible generalizations of the classical problem to anisotropic structures, and their relation with the study of crystal shapes. Finally, we recall some recent results in the study of quantitative versions of the isoperimetric inequality and the connection between geometric inequalities and the theory of Optimal Transport.

How to cite

top

Cinti, Eleonora. "Il problema isoperimetrico:una storia lunga 2000 anni." Matematica, Cultura e Società. Rivista dell'Unione Matematica Italiana 4.2 (2019): 95-106. <http://eudml.org/doc/295095>.

@article{Cinti2019,
abstract = {In questo contributo si ripercorrono alcune delle tappe fondamentali nella storia del problema isoperimetrico: dalla sua formulazione con i primi contributi risalenti all'antica Grecia, fino alla sua completarisoluzione nella metà del XX secolo. Vengono inoltre descritte possibili generalizzazioni del problema classico al caso di strutture anisotrope e il loro legame con lo studio della forma dei cristalli. Infine si richiamano risultati recenti nello studio di versioni quantitative di disuguaglianze isoperimetriche e il ruolo della teoria del Trasporto Ottimo nello studio di disuguaglianze geometriche.},
author = {Cinti, Eleonora},
journal = {Matematica, Cultura e Società. Rivista dell'Unione Matematica Italiana},
language = {ita},
month = {8},
number = {2},
pages = {95-106},
publisher = {Unione Matematica Italiana},
title = {Il problema isoperimetrico:una storia lunga 2000 anni},
url = {http://eudml.org/doc/295095},
volume = {4},
year = {2019},
}

TY - JOUR
AU - Cinti, Eleonora
TI - Il problema isoperimetrico:una storia lunga 2000 anni
JO - Matematica, Cultura e Società. Rivista dell'Unione Matematica Italiana
DA - 2019/8//
PB - Unione Matematica Italiana
VL - 4
IS - 2
SP - 95
EP - 106
AB - In questo contributo si ripercorrono alcune delle tappe fondamentali nella storia del problema isoperimetrico: dalla sua formulazione con i primi contributi risalenti all'antica Grecia, fino alla sua completarisoluzione nella metà del XX secolo. Vengono inoltre descritte possibili generalizzazioni del problema classico al caso di strutture anisotrope e il loro legame con lo studio della forma dei cristalli. Infine si richiamano risultati recenti nello studio di versioni quantitative di disuguaglianze isoperimetriche e il ruolo della teoria del Trasporto Ottimo nello studio di disuguaglianze geometriche.
LA - ita
UR - http://eudml.org/doc/295095
ER -

References

top
  1. BERNSTEIN, F., Über die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises auf der Kugeloberfläche und in der Ebene, Math. Ann.60 (1905), no. 1, 117-136. Zbl36.0432.01MR1511289DOI10.1007/BF01447496
  2. BONNESEN, T., Über das isoperimetrische Defizit ebener Figuren, Math. Ann.91 (1924), no. 3-4, 252-268. Zbl50.0487.03MR1512192DOI10.1007/BF01556082
  3. CACCIOPPOLI, R., Elementi di una teoria generale dell'integrazione k-dimensionale in uno spazio n-dimensionale, Atti IV Convegno UMI, (1951). Zbl0051.29402MR56067
  4. CACCIOPPOLI, R., Misura e integrazione sugli insiemi dimensionalmente orientati, Note I e II, Rend. Accad. Naz. Lincei, (1952). MR47756
  5. CICALESE, M., LEONARDI, G.P., A selection principle for the sharp quantitative isoperimetric inequality, Arch. Rat. Mech. Anal.206 (2012), 617-643. Zbl1257.49045MR2980529DOI10.1007/s00205-012-0544-1
  6. DE GIORGI, E., Definizione ed espressione analitica del perimetro di un insieme, Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., (1953). Zbl0051.29403MR56066
  7. DE GIORGI, E., Su una teoria generale della misura ( r - 1 ) -dimensionale in uno spazio ad r dimensioni, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 36, (1954). 191-213. Zbl0055.28504MR62214DOI10.1007/BF02412838
  8. DE GIORGI, E., Sulla proprietà isoperimetrica dell'ipersfera, nella classe degli insiemi aventi frontiera orientata di misura finita, Atti Accad. Naz. Lincei Mem. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. Sez. I (8) (1958), 33-44. Zbl0116.07901MR98331
  9. FIGALLI, A., MAGGI, F., PRATELLI, A.: A refined Brunn Minkowski inequality for convex sets, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linèaire26 (2009), no. 6, 2511-2519. Zbl1192.52015MR2569906DOI10.1016/j.anihpc.2009.07.004
  10. FIGALLI, A., MAGGI, F., PRATELLI, A., A mass transportation approach to quantitative isoperimetric inequalities, Invent. Math., 182 (2010), 167-211. Zbl1196.49033MR2672283DOI10.1007/s00222-010-0261-z
  11. FUGLEDE, B., Stability in the isoperimetric problem for convex or nearly spherical domains in ℝ n , Trans. Amer. Math. Soc.314 (1989), 619-638. Zbl0679.52007MR942426DOI10.2307/2001401
  12. FUSCO, N., The stability of the isoperimetric inequality. Vector-valued partial differential equations and applications, 73-123, Lecture Notes in Math., 2179, Fond. CIME/CIME Found. Subser., Springer, Cham, (2017). Zbl06747845MR3585546
  13. FUSCO, N., MAGGI, F., PRATELLI, A., The sharp quantitative isoperimetric inequality, Annals of Math.168 (2008), 941-980. Zbl1187.52009MR2456887DOI10.4007/annals.2008.168.941
  14. GIBBS, J. W., On the Equilibrium of Heterogeneous Substances, Transactions of the Connecticut Academy of Arts and Sciences, 3, (1874-1878) 108-248, 343-524. Reproduced in both The Scientific Papers (1906), pp. 55-353 and The Collected Works of J. Willard Gibbs (1928), pp. 55-353. 
  15. HALL, R. R., A quantitative isoperimetric inequality in n-dimensional space, J. Reine Angew. Math.428 (1992), 161-176. Zbl0746.52012MR1166511DOI10.1515/crll.1992.428.161
  16. KNOTHE, H., Contributions to the theory of convex bodies, Michigan Math. J.4 (1957), 39-52. Zbl0077.35803MR83759
  17. MILMAN, V. D., SCHECHTMAN, G., Asymptotic Theory of Finite-dimensional Normed Spaces. With an appendix by M. Gromov. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1200. Springer, Berlin (1986), viii+156 pp. Zbl0606.46013MR856576
  18. MONGE, G., Mémoire sur la théorie des d'eblais et des remblais, Histoire de l' Académie Royale des Sciences de Paris, (1781), pp. 666-704. 
  19. STEINER, J., Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. reine angew Math., 18 (1838), 281-296. MR1578194DOI10.1515/crll.1838.18.281
  20. TAYLOR, JEAN E., Crystalline variational problems. Bull. Amer. Math. Soc.84 (1978), no. 4, 568-588. Zbl0392.49022MR493671DOI10.1090/S0002-9904-1978-14499-1
  21. WULFF, G., Zur Frage der Geschwindigkeit desWachsturms und der Auflösung der Kristallflächen, Z. Kristallogr.34 (1901), 449-530. 

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.