Arithmetic III – digits changes leading to prime numbers or variations on Bertrand‘s postulate

Tomáš Kepka; A. Jančařík; Jakub Michal

Učitel matematiky (2022)

  • Volume: 030, Issue: 2, page 77-91
  • ISSN: 1210-9037

Abstract

top
Prime numbers and the questions associated with them are some of the most difficult problems in mathematics, and many of them remain open. In this article, we address the question of how close to a chosen number we can already find a prime. On the basis of well-known statements, it can be conjectured that a prime number can be obtained from any natural number by changing at most two digits. The reasoning by which we develop the known results is of a purely arithmetical nature. The hypothesis stated, which is dependent on the hypothesis from (Hanson, 1973), is not only an interesting theoretical observation, but can also serve to enliven mathematics lessons by activities in which the pupils themselves search for close prime numbers to the chosen number.

How to cite

top

Kepka, Tomáš, Jančařík, A., and Michal, Jakub. "Aritmetika III – změny číslic vedoucí k prvočíslům aneb variace na Bertrandův postulát." Učitel matematiky 030.2 (2022): 77-91. <http://eudml.org/doc/298329>.

@article{Kepka2022,
abstract = {Prvočísla a otázky s nimi spojené představují často jedny z nejtěžších problémů matematiky a mnohé z nich zůstávají stále otevřené. V tomto článku se zabýváme otázkou, jak blízko ke zvolenému číslu již můžeme nalézt nějaké prvočíslo. Na základě známých tvrzení lze vyslovit hypotézu, že z každého přirozeného čísla lze již změnou nejvýše dvou číslic získat prvočíslo. Úvahy,  kterými rozvíjíme známé výsledky, jsou čistě aritmetické povahy. Vyslovená hypotéza, která je závislá na hypotéze z (Hanson, 1973) není jen zajímavým teoretickým poznatkem, ale může sloužit i pro oživené hodin matematiky, a to aktivitami, kdy žáci sami budou hledat blízká prvočísla ke zvolenému číslu.},
author = {Kepka, Tomáš, Jančařík, A., Michal, Jakub},
journal = {Učitel matematiky},
language = {cze},
number = {2},
pages = {77-91},
publisher = {Jednota českých matematiků a fyziků},
title = {Aritmetika III – změny číslic vedoucí k prvočíslům aneb variace na Bertrandův postulát},
url = {http://eudml.org/doc/298329},
volume = {030},
year = {2022},
}

TY - JOUR
AU - Kepka, Tomáš
AU - Jančařík, A.
AU - Michal, Jakub
TI - Aritmetika III – změny číslic vedoucí k prvočíslům aneb variace na Bertrandův postulát
JO - Učitel matematiky
PY - 2022
PB - Jednota českých matematiků a fyziků
VL - 030
IS - 2
SP - 77
EP - 91
AB - Prvočísla a otázky s nimi spojené představují často jedny z nejtěžších problémů matematiky a mnohé z nich zůstávají stále otevřené. V tomto článku se zabýváme otázkou, jak blízko ke zvolenému číslu již můžeme nalézt nějaké prvočíslo. Na základě známých tvrzení lze vyslovit hypotézu, že z každého přirozeného čísla lze již změnou nejvýše dvou číslic získat prvočíslo. Úvahy,  kterými rozvíjíme známé výsledky, jsou čistě aritmetické povahy. Vyslovená hypotéza, která je závislá na hypotéze z (Hanson, 1973) není jen zajímavým teoretickým poznatkem, ale může sloužit i pro oživené hodin matematiky, a to aktivitami, kdy žáci sami budou hledat blízká prvočísla ke zvolenému číslu.
LA - cze
UR - http://eudml.org/doc/298329
ER -

References

top
  1. Bachraoui, M. E., 10.12988/ijcms.2006.06065, (2006). The International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 1, 617-621. MR2289714DOI10.12988/ijcms.2006.06065
  2. Bertrand, J, Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme, (1845). Journal de l'École Royale Polytechnique, 30(18), 123–140. 
  3. Breusch, R., 10.1007/BF01180606, (1932). Mathematische Zeitschrift, 18, 505-526. MR1545270DOI10.1007/BF01180606
  4. Dirichlet, P. G. L., Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält, (1837). Abhandlungen der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 48, 45-91. 
  5. Erdös, P., Beweis eines Satzes von Tschebyschef, (1932). Acta Litt, 5, 194-198. 
  6. Gatteschi, L., Un perfezionamento di un teorema di I. Schur sulla frequenza dei numeri primi, (1947). Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, 3(2), 123–125. MR0023276
  7. Hanson, D., 10.4153/CMB-1973-035-3, (1973). Canadian Mathematical Bulletin. 16, 195-199. MR0340162DOI10.4153/CMB-1973-035-3
  8. Loo, A., On the Primes in the Interval [3n, 4n], (2011). International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 6(38), 1871-1872. MR2855723
  9. Nagura, J., On the interval containing at least one prime number, (1952). Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences, 28(4), 177-181. MR0050615
  10. Oliveira e Silva, T., Herzog, S., Pardi, S., 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1, (2014). Mathematics of Computation, 83(288), 2033-2060. MR3194140DOI10.1090/S0025-5718-2013-02787-1
  11. Ramanujan, S., A proof of Bertrand’s postulate, (1919). Journal of the Indian Mathematical Society, 11, 181-182. 
  12. Rohrbach, H., Weis, J., Berichtigung zu der Arbeit 'Zum finiten Fall des Bertrandschen Postulats', (1964a). Journal für die reine und angewandte Mathematik, 216, 220-220. MR0161820
  13. Rohrbach, H., Weis, J., Zum finiten Fall des Bertrandschen Postulats, (1964b). Journal für die reine und angewandte Mathematik, 0214_0215, 432-440. MR0161820
  14. Schoenfeld, L., Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x). II., (1976). Mathematics of Computation, 30(134), 337–360. MR0457374
  15. Schur, I., Einige Sätze über Primzahlen : mit Anwendungen auf rreduzibilitätsfragen., (1929). Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (Physikalisch-Mathematische Klasse), 126-136. 
  16. Tchebichef, P. L., Mémoire sur les nombres premiers, (1852). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 17, 366-390. 

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.