Les théorèmes de renouvellement

Carl S. Herz

Annales de l'institut Fourier (1965)

  • Volume: 15, Issue: 1, page 169-187
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Soit D un laplacien généralisé, c’est-à-dire le générateur infinitésimal d’un semi-groupe sous-markovien d’opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires E de D * E = - δ . Nous ne considérons que les D définis sur le groupe R , la droite réelle.S’il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale E . Celle-ci s’exprime comme E = lim λ 0 E λ E λ = ( λ δ - D ) - 1 . Il s’agit ici du cas transient. Utilisant les méthodes de la théorie du potentiel on démontre que E possède des limites, au sens des distributions, aux points + et - . La dérivée E ' s’annule à l’infini.Il se peut que D n’ait aucune solution élémentaire en tant que distribution tempérée. Dans le cas contraire, le problème est bien adapté au groupe R et, outre le cas transient, il y a le cas récurrent. Dans ce dernier cas, il existe une famille { C λ } de constantes positives telles que E λ - C λ d x converge vers une solution élémentaire E . Pour cette solution E la dérivée E ' possède des limites à droite et à gauche, à savoir lim x ± E ' * f ( x ) = ± σ - 2 f ( y ) d y σ 2 = x 2 D . La dérivée seconde E ' ' s’annule à l’infini. Nos méthodes, dans le cas récurrent, sont essentiellement celles de la théorie du potentiel mais un peu d’analyse harmonique y intervient.

How to cite

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Herz, Carl S.. "Les théorèmes de renouvellement." Annales de l'institut Fourier 15.1 (1965): 169-187. <http://eudml.org/doc/73860>.

@article{Herz1965,
abstract = {Soit $D$ un laplacien généralisé, c’est-à-dire le générateur infinitésimal d’un semi-groupe sous-markovien d’opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires $E$ de $D^*E = -\delta $. Nous ne considérons que les $D$ définis sur le groupe $R$, la droite réelle.S’il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale $E$. Celle-ci s’exprime comme $E = \lim _\{\lambda \rightarrow 0\}E_\lambda $ où $E_\lambda = (\lambda \delta -D)^\{-1\}$. Il s’agit ici du cas transient. Utilisant les méthodes de la théorie du potentiel on démontre que $E$ possède des limites, au sens des distributions, aux points $+\infty $ et $-\infty $. La dérivée $E^\{\prime \}$ s’annule à l’infini.Il se peut que $D$ n’ait aucune solution élémentaire en tant que distribution tempérée. Dans le cas contraire, le problème est bien adapté au groupe $R$ et, outre le cas transient, il y a le cas récurrent. Dans ce dernier cas, il existe une famille $\lbrace C_\lambda \rbrace $ de constantes positives telles que $E_\lambda - C_\lambda dx$ converge vers une solution élémentaire $E$. Pour cette solution $E$ la dérivée $E^\{\prime \}$ possède des limites à droite et à gauche, à savoir\begin\{\}\lim \_\{x\rightarrow \pm \infty \} E^\{\prime *\}f(x) = \pm \sigma ^\{-2\}\int f(y)\ dy\end\{\}où $\sigma ^2 = \int x^2 D \le \infty $. La dérivée seconde $E^\{\prime \prime \}$ s’annule à l’infini. Nos méthodes, dans le cas récurrent, sont essentiellement celles de la théorie du potentiel mais un peu d’analyse harmonique y intervient.},
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ER -

References

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  1. [1] W. FELLER et S. OREY, A renewal theorem, Journ. Math. and Mech., 10 (1961), 619-624. Zbl0096.33401MR24 #A581
  2. [2] W. HOEFFDING, On sequences of sums of independent random vectors, 4th Berkeley Symposium on Math. Stat. and Prob., vol. II, 213-226. Zbl0211.20605MR25 #1563
  3. [3] Frank SPITZER, Hitting probabilities, Journ. Math. and Mech., 11 (1962), 593-614. Zbl0218.60061MR25 #2655

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