Les théorèmes de renouvellement

Herz, Carl S.. "Les théorèmes de renouvellement." Annales de l'institut Fourier 15.1 (1965): 169-187. <http://eudml.org/doc/73860>.

@article{Herz1965,
abstract = {Soit $D$ un laplacien généralisé, c’est-à-dire le générateur infinitésimal d’un semi-groupe sous-markovien d’opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires $E$ de $D^*E = -\delta $. Nous ne considérons que les $D$ définis sur le groupe $R$, la droite réelle.S’il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale $E$. Celle-ci s’exprime comme $E = \lim _\{\lambda \rightarrow 0\}E_\lambda $ où $E_\lambda = (\lambda \delta -D)^\{-1\}$. Il s’agit ici du cas transient. Utilisant les méthodes de la théorie du potentiel on démontre que $E$ possède des limites, au sens des distributions, aux points $+\infty $ et $-\infty $. La dérivée $E^\{\prime \}$ s’annule à l’infini.Il se peut que $D$ n’ait aucune solution élémentaire en tant que distribution tempérée. Dans le cas contraire, le problème est bien adapté au groupe $R$ et, outre le cas transient, il y a le cas récurrent. Dans ce dernier cas, il existe une famille $\lbrace C_\lambda \rbrace $ de constantes positives telles que $E_\lambda - C_\lambda dx$ converge vers une solution élémentaire $E$. Pour cette solution $E$ la dérivée $E^\{\prime \}$ possède des limites à droite et à gauche, à savoir\begin\{\}\lim \_\{x\rightarrow \pm \infty \} E^\{\prime *\}f(x) = \pm \sigma ^\{-2\}\int f(y)\ dy\end\{\}où $\sigma ^2 = \int x^2 D \le \infty $. La dérivée seconde $E^\{\prime \prime \}$ s’annule à l’infini. Nos méthodes, dans le cas récurrent, sont essentiellement celles de la théorie du potentiel mais un peu d’analyse harmonique y intervient.},
author = {Herz, Carl S.},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
language = {fre},
number = {1},
pages = {169-187},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Les théorèmes de renouvellement},
url = {http://eudml.org/doc/73860},
volume = {15},
year = {1965},
}

TY - JOUR
AU - Herz, Carl S.
TI - Les théorèmes de renouvellement
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1965
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 15
IS - 1
SP - 169
EP - 187
AB - Soit $D$ un laplacien généralisé, c’est-à-dire le générateur infinitésimal d’un semi-groupe sous-markovien d’opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires $E$ de $D^*E = -\delta $. Nous ne considérons que les $D$ définis sur le groupe $R$, la droite réelle.S’il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale $E$. Celle-ci s’exprime comme $E = \lim _{\lambda \rightarrow 0}E_\lambda $ où $E_\lambda = (\lambda \delta -D)^{-1}$. Il s’agit ici du cas transient. Utilisant les méthodes de la théorie du potentiel on démontre que $E$ possède des limites, au sens des distributions, aux points $+\infty $ et $-\infty $. La dérivée $E^{\prime }$ s’annule à l’infini.Il se peut que $D$ n’ait aucune solution élémentaire en tant que distribution tempérée. Dans le cas contraire, le problème est bien adapté au groupe $R$ et, outre le cas transient, il y a le cas récurrent. Dans ce dernier cas, il existe une famille $\lbrace C_\lambda \rbrace $ de constantes positives telles que $E_\lambda - C_\lambda dx$ converge vers une solution élémentaire $E$. Pour cette solution $E$ la dérivée $E^{\prime }$ possède des limites à droite et à gauche, à savoir\begin{}\lim _{x\rightarrow \pm \infty } E^{\prime *}f(x) = \pm \sigma ^{-2}\int f(y)\ dy\end{}où $\sigma ^2 = \int x^2 D \le \infty $. La dérivée seconde $E^{\prime \prime }$ s’annule à l’infini. Nos méthodes, dans le cas récurrent, sont essentiellement celles de la théorie du potentiel mais un peu d’analyse harmonique y intervient.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/73860
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