Soit $p$ une fonction polynôme de ${\mathbf{R}}^m$ dans $\mathbf{R}$. On considère la mesure ${\mu }_p$ sur le graphe de $p$ dont la projection sur ${\mathbf{R}}^m$ est la mesure de Lebesgue. On étudie ici le comportement de la transformée de Fourier ${\widehat{\mu }}_p(u,v)$ lorsque $v$ approche de 0 (de telles distributions apparaissent comme caractères de représentations de groupes de Lie nilpotents). On étend des résultats de L. Corwin et F.P. Greenleaf (Comm. on Pure and Applied Math., 31 (1975), 681–705) au cas où le gradient de la partie de $p$ homogène de...

On considère l’espace $E=L^2({\Psi }_2.{\Psi }_1^{-1}dx)$ où ${\Psi }_2$ et ${\Psi }_1$ sont deux fonctions définies-négatives, réelles et continues sur ${\mathbf{R}}^n$. On étudie la possibilité d’approcher, au sens de la norme de $E$, tout élément $\phi$ de $E$ par des combinaisons linéaires d’éléments de $E$ qui sont transformés de Fourier de mesures positives de support inclus dans le spectre de $\phi$. Des méthodes de théorie du potentiel permettent de donner une réponse positive (sous certaines hypothèses additionnelles). On obtient ainsi des généralisations, au...

Soient $\Omega$ un domaine borné de $R^n$ et $W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ l’adhérence de $𝒟\left(\Omega \right)$ dans l’espace $W^{1,2}\left(\Omega \right)$ des fonctions qui $\in L^2\left(\Omega \right)$ ainsi que leurs dérivées partielles premières. On démontre d’abord le principe du maximum suivant : une sous-solution locale dans $\Omega$, majorée p.p. au voisinage de $\partial \Omega$ par une fonction $\in W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ est $\le 0$ p.p. dans $\Omega$. Puis on vérifie que les solutions locales de $Lu=0$ forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant aux axiomes de M. Brelot, ce qui permet de parler du problème de Dirichlet dans un...

L’objet de la note est l’étude d’un problème de Cauchy pour l’équation fonctionnelle : $y^{\left(n\right)}\left(t\right)=U^n\left[y\right(t\left)\right]$, $t\<0$, avec $y^{\left(k\right)}\left(t\right)\to y_k$, $k=0,1,...,n-1$, quand $l\to 0$. On suppose que la solution et les données $\left\{y_k\right\}$ sont des éléments d’un espace $\left(B\right)$, $U$ est un opérateur linéaire de domaine $D\left[U\right]\subset X$, les dérivées et les limites sont prises au sens fort. Une solution est du type normal si $t^{-1}\log \parallel y^{(n-1)}\left(t\right)\parallel$ reste borné quant $t\to \infty$. On montre que le problème admet au plus une solution du type normal pour n’importe quelles données dans $X$, si $U$ est clos et ses valeurs propres...

L’objet de la note est l’extension du principe de la borne uniforme pour le cas des suites d’opérations bornées et homogènes, mais non sous-additives. Dans ce but l’auteur introduit la notion de suite asymptotiquement sous-additive : la suite d’opérations $u_n\left(x\right)$ définies dans un espace complet $E$ est asymptotiquement sous-additive, si elle satisfait aux conditions $$\parallel u_n(x+y)\parallel \le \parallel u_n\left(x\right)\parallel +O\left(\right|u_n|·\parallel y\parallel )$$ uniformément pour $x,y\in E$ et $$\underset{\parallel y\parallel \le 1}{inf}[\parallel u_n(x+y)\parallel +\parallel u_n\left(x\right)\parallel -\parallel u_n\left(y\right)\parallel ]\ge O(|u_n\left|\right)$$ pour chaque $x\in E$, mais non nécessairement uniformément...

Dans cet article, l’auteur résoud un problème qui s’est posé en théorie de l’hypoellipticité : existe-t-il des noyaux ayant les propriétés énoncées dans le titre ? La réponse est affirmative : on construit une telle distribution et on vérifie successivement les trois points. On peut se représenter cette distribution, en langage imagé, comme une fonction définie dans $R^2$ dont la surface représentative serait constituée par une suite de petites cloches indéfiniment différentiables, à supports...