Dimension algébrique de sous-groupes analytiques de variétés de groupe

Michel Waldschmidt

Annales de l'institut Fourier (1975)

  • Volume: 25, Issue: 1, page 23-33
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let G be a group variety defined over the field Q ‾ of algebraic numbers; let φ : C n → G C be a n -parameter subgroup of G , of algebraic dimension d . We bound the rank ℓ (over Z ) of the subgroups Γ of C n , such that φ ( Γ ) is contained in the group G Q ‾ of algebraic points of G .E. Bombieri and S. Lang gave such bounds when the points of Γ are sufficiently well distributed: for d ≥ n + 1 , one has ℓ ≤ n 2 + 3 n for linear varieties, and ℓ ≤ 2 n 2 + 4 n for abelian varieties.We improve these bounds, by showing that, under the same hypothesis, one has ℓ d ≤ n ( ℓ + d ) in the linear case, and ℓ d ≤ n ( ℓ + 2 d ) in the abelian case. These bounds are replaced by ℓ ≤ 2 n - 1 and ℓ ≤ 2 n respectively, when we assume, moreover, that Γ ⊂ Q ‾ n and d ≥ n + 1 . We get other inequalities with weaker distribution hypothesis.These results are obtained as corollaries of an arithmetic criterion for the algebraic dependence of meromorphic functions in C n , of finite order.

How to cite

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Waldschmidt, Michel. "Dimension algébrique de sous-groupes analytiques de variétés de groupe." Annales de l'institut Fourier 25.1 (1975): 23-33. <http://eudml.org/doc/74213>.

@article{Waldschmidt1975,
abstract = {Soient $G$ une variété de groupe définie sur le corps $\overline\{\bf Q\}$ des nombres algébriques, et $\varphi : \{\bf C\}^n \rightarrow G_\{\bf C\}$ un sous-groupe à $n$ paramètres de $G$, de dimension algébrique $d$. Nous nous proposons de majorer le rang $\ell $ (sur $\{\bf Z\}$) des sous-groupes $\Gamma $ de $ \{\bf C\}^n$ dont l’image par $\varphi $ est contenue dans le groupe $G_\{\overline\{\bf Q \}\}$ des points algébriques de $G$.E. Bombieri et S. Lang ont déjà obtenu de telles majorations, en supposant que les points de $\Gamma $ sont très bien distribués : pour $d\ge n+1$, on a $\ell \le n^2+3n$ pour des variétés linéaires, et $\ell \le 2n^2+4n$ pour des variétés abéliennes .Nous raffinons ces majorations en montrant que, sous les mêmes hypothèses, on a $\ell d \le n(\ell + d)$ dans le cas linéaires, et $\ell d \le n(\ell + 2d)$ dans le cas abélien. Ces majorations deviennent respectivement $\ell \le 2n-1$ et $\ell \le 2n$ quand on suppose de plus $\Gamma \subset \overline\{\{\bf Q\}\}^n$ et $d\ge n+1$. Nous obtiendrons d’autres inégalités sous des hypothèses de répartition moins fortes.Ces résultats sont des corollaires d’un critère arithmétique pour que des fonctions, méromorphes dans $\{\bf C\}^n$ et d’ordre fini, soient algébriquement dépendantes sur $\{\bf Q\}$.},
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ER -

References

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