@article{Waldschmidt1975,
abstract = {Soient $G$ une variété de groupe définie sur le corps $\overline\{\bf Q\}$ des nombres algébriques, et $\varphi : \{\bf C\}^n \rightarrow G_\{\bf C\}$ un sous-groupe à $n$ paramètres de $G$, de dimension algébrique $d$. Nous nous proposons de majorer le rang $\ell $ (sur $\{\bf Z\}$) des sous-groupes $\Gamma $ de $ \{\bf C\}^n$ dont l’image par $\varphi $ est contenue dans le groupe $G_\{\overline\{\bf Q \}\}$ des points algébriques de $G$.E. Bombieri et S. Lang ont déjà obtenu de telles majorations, en supposant que les points de $\Gamma $ sont très bien distribués : pour $d\ge n+1$, on a $\ell \le n^2+3n$ pour des variétés linéaires, et $\ell \le 2n^2+4n$ pour des variétés abéliennes .Nous raffinons ces majorations en montrant que, sous les mêmes hypothèses, on a $\ell d \le n(\ell + d)$ dans le cas linéaires, et $\ell d \le n(\ell + 2d)$ dans le cas abélien. Ces majorations deviennent respectivement $\ell \le 2n-1$ et $\ell \le 2n$ quand on suppose de plus $\Gamma \subset \overline\{\{\bf Q\}\}^n$ et $d\ge n+1$. Nous obtiendrons d’autres inégalités sous des hypothèses de répartition moins fortes.Ces résultats sont des corollaires d’un critère arithmétique pour que des fonctions, méromorphes dans $\{\bf C\}^n$ et d’ordre fini, soient algébriquement dépendantes sur $\{\bf Q\}$.},
author = {Waldschmidt, Michel},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
language = {fre},
number = {1},
pages = {23-33},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Dimension algébrique de sous-groupes analytiques de variétés de groupe},
url = {http://eudml.org/doc/74213},
volume = {25},
year = {1975},
}
TY - JOUR
AU - Waldschmidt, Michel
TI - Dimension algébrique de sous-groupes analytiques de variétés de groupe
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1975
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 25
IS - 1
SP - 23
EP - 33
AB - Soient $G$ une variété de groupe définie sur le corps $\overline{\bf Q}$ des nombres algébriques, et $\varphi : {\bf C}^n \rightarrow G_{\bf C}$ un sous-groupe à $n$ paramètres de $G$, de dimension algébrique $d$. Nous nous proposons de majorer le rang $\ell $ (sur ${\bf Z}$) des sous-groupes $\Gamma $ de $ {\bf C}^n$ dont l’image par $\varphi $ est contenue dans le groupe $G_{\overline{\bf Q }}$ des points algébriques de $G$.E. Bombieri et S. Lang ont déjà obtenu de telles majorations, en supposant que les points de $\Gamma $ sont très bien distribués : pour $d\ge n+1$, on a $\ell \le n^2+3n$ pour des variétés linéaires, et $\ell \le 2n^2+4n$ pour des variétés abéliennes .Nous raffinons ces majorations en montrant que, sous les mêmes hypothèses, on a $\ell d \le n(\ell + d)$ dans le cas linéaires, et $\ell d \le n(\ell + 2d)$ dans le cas abélien. Ces majorations deviennent respectivement $\ell \le 2n-1$ et $\ell \le 2n$ quand on suppose de plus $\Gamma \subset \overline{{\bf Q}}^n$ et $d\ge n+1$. Nous obtiendrons d’autres inégalités sous des hypothèses de répartition moins fortes.Ces résultats sont des corollaires d’un critère arithmétique pour que des fonctions, méromorphes dans ${\bf C}^n$ et d’ordre fini, soient algébriquement dépendantes sur ${\bf Q}$.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/74213
ER -
