Quelques exemples de feuilletages espèces rares

Gilbert Hector

Annales de l'institut Fourier (1976)

  • Volume: 26, Issue: 1, page 239-264
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
Usually, the leaves of a codimension 1 foliation on a manifold M are classified into three types:i) proper leaves;ii) leaves which are locally dense;iii) exceptional leaves i.e. leaves which are neither proper nor locally dense.If for a given foliation, leaves of different types are very strongly mixed the foliation is said to be a “rare species”. Here we are interested in making an exhaustive collection of rare species on M = R 3 or M = V × S 1 (where V is the compact surface of genus 2). In R 3 all the rare species are of class C whereas some of them on V × S 1 have only been constructed here in class C 0 .In particular, it is an open question whether there exists on a compact manifold a foliation of class C 2 with all the leaves exceptional.

How to cite

top

Hector, Gilbert. "Quelques exemples de feuilletages espèces rares." Annales de l'institut Fourier 26.1 (1976): 239-264. <http://eudml.org/doc/74268>.

@article{Hector1976,
abstract = {On répartit habituellement les feuilles d’un feuilletage de codimension 1 sur une variété $M$ en trois types :i) feuilles propres i.e. ouvertes dans leur adhérence ;ii) feuilles localement denses ;iii) feuilles exceptionnelles i.e. ni propres, ni localement denses.Lorsque le mélange des feuilles des divers types dans un même feuilletage est suffisamment complexe, on dit qu’on a affaire à un feuilletage “espèce rare". Le but du présent travail est alors de constituer une sorte d’“herbier des espèces rares" sur $M=R^3$ ou $M=V\times S^1$ (où $V$ désigne la surface compacte de genre 2). Mais si toutes les espèces rares sont réalisées sur $R^3$ en classe $C^\infty $, il ne nous a été possible de réaliser certaines d’entre elles qu’en classe $C^0$ sur $V\times S^1$. En particulier reste ouvert le problème de savoir s’il existe en classe $C^2$, sur une variété compacte, des feuilletages dont toutes les feuilles soient exceptionnelles.},
author = {Hector, Gilbert},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
language = {fre},
number = {1},
pages = {239-264},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Quelques exemples de feuilletages espèces rares},
url = {http://eudml.org/doc/74268},
volume = {26},
year = {1976},
}

TY - JOUR
AU - Hector, Gilbert
TI - Quelques exemples de feuilletages espèces rares
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1976
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 26
IS - 1
SP - 239
EP - 264
AB - On répartit habituellement les feuilles d’un feuilletage de codimension 1 sur une variété $M$ en trois types :i) feuilles propres i.e. ouvertes dans leur adhérence ;ii) feuilles localement denses ;iii) feuilles exceptionnelles i.e. ni propres, ni localement denses.Lorsque le mélange des feuilles des divers types dans un même feuilletage est suffisamment complexe, on dit qu’on a affaire à un feuilletage “espèce rare". Le but du présent travail est alors de constituer une sorte d’“herbier des espèces rares" sur $M=R^3$ ou $M=V\times S^1$ (où $V$ désigne la surface compacte de genre 2). Mais si toutes les espèces rares sont réalisées sur $R^3$ en classe $C^\infty $, il ne nous a été possible de réaliser certaines d’entre elles qu’en classe $C^0$ sur $V\times S^1$. En particulier reste ouvert le problème de savoir s’il existe en classe $C^2$, sur une variété compacte, des feuilletages dont toutes les feuilles soient exceptionnelles.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/74268
ER -

References

top
  1. [1] A. DENJOY, Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore, J. de Math., 9 (11) (1932), 333-375. Zbl58.1124.04JFM58.1124.04
  2. [2] A. HAEFLIGER, Structures feuilletées et cohomologie à valeur dans un faisceau de groupoïdes, Comm. Math. Helv., 32 (1958), 249-329. Zbl0085.17303MR20 #6702
  3. [3] A. HAEFLIGER, Variétés feuilletées, Ann. Scuola Norm. Sup., Pisa, 16 (1964), 367-397. Zbl0122.40702MR32 #6487
  4. [4] G. HECTOR, Sur le type des feuilletages transverses de R3, C.R. Acad. Sc., Paris, 273 (1971), 810-813. Zbl0221.57010MR44 #4773
  5. [5] G. HECTOR, Sur un théorème de structure des feuilletages de codimension un. Thèse, Strasbourg, (1972). 
  6. [6] W. KAPLAN, Regular curve-families filling the plane Part. I: Duke Math. J., 7 (1940), 154-185. Part. II : Duke Math. J., (1941), 11-46. Zbl0025.09301MR2,322cJFM66.0966.05
  7. [7] H. POINCARE, Sur les courbes définies par les équations différentielles, J. Math. Pures et Appl., I (1885), 167-244 et Oeuvres complètes T.I., 137-158. JFM17.0680.01
  8. [8] G. REEB, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées, Act. Sc. et Ind., Hermann, Paris, 1952. Zbl0049.12602MR14,1113a
  9. [9] G. REEB, Sur les structures feuilletées de codimension 1 et sur un théorème de M.A. Denjoy, Ann. Inst. Fourier, 11 (1961), 185-200. Zbl0136.20901MR24 #A1135
  10. [10] H. ROSENBERG et R. ROUSSARIE, Les feuilles exceptionnelles ne sont pas exceptionnelles, Comm. Math. Helv., 45 (1970), 517-523. Zbl0209.54705MR43 #5546
  11. [11] R. SACKSTEDER, On the existence of exceptional leaves in foliations of codimension one, Ann. Inst. Fourier, 14 (2), (1964), 221-226. Zbl0136.20902MR30 #4267
  12. [12] R. SACKSTEDER, Foliations and pseudo-groups, Amer. J. of Math., 87 (1965), 79-102. Zbl0136.20903MR30 #4268
  13. [13] A. SCHWARTZ, A generalization of the Poincaré-Bendixson theorem to closed two-dimensional manifolds. Amer. J. of. Math., 85 (1963), 453-458. Zbl0116.06803MR27 #5003
  14. [14] C.L. SIEGEL, Notes on differential equations on the torus, Ann. of Math., 46 (1945), 423-428. Zbl0061.19510MR7,117g
  15. [15] J. WOOD, Bundles with totally disconnected structure group, Comm. Math. Helv., 46 (1971), 257-273. Zbl0217.49202MR45 #2732

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.