Propriétés locales et globales de certaines extensions métacycliques

Jean Cougnard

Annales de l'institut Fourier (1982)

  • Volume: 32, Issue: 2, page 1-12
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let N / Q be a metacyclic extension the Galois group of which is of order n p a ( n dividing p - 1 and a ≥ 1 ) and has a normal subgroup of order p a . Let N 1 be the subfied of N with degree n p a - 1 over Q , O N (resp. O N 1 ) the ring of integers of N (resp. N 1 ) and v the trace operator from N to N 1 . We prove that O N / O N 1 is a locally-free module over the ring A = Z [ G ] / v . We also prove that the ideal generated by Fröhlich’s resolvents associated to an absolutely irreducible faithful character of G can be generated by the corresponding Galois Gauss sum. We then deduce that O N / O N 1 is A -free.

How to cite

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Cougnard, Jean. "Propriétés locales et globales de certaines extensions métacycliques." Annales de l'institut Fourier 32.2 (1982): 1-12. <http://eudml.org/doc/74536>.

@article{Cougnard1982,
abstract = {Soit $N/\{\bf Q\}$ une extension galoisienne à groupe de Galois métacyclique $G$ d’ordre $np^a$ ($n$ divisant $p-1$ et $a\ge 1$) possédant un sous-groupe distingué d’ordre $p^a$. On note $N_1$ l’unique sous-corps de $N$ de degré $np^\{a-1\}$ sur $\{\bf Q\}$, $O_N$ (resp. $O_\{N_1\}$) le clôture intégrale de $\{\bf Z\}$ dans $N$ (resp. $N_1$) et $v$ l’opérateur trace dans l’extension $N/N_1$. On démontre que $O_N/O_\{N_1\}$ est un module localement libre sur l’anneau $A= Z[G]/v$. On montre ensuite que l’idéal engendré par les résolvantes de Fröhlich associées à un caractère fidèle absolument irréductible de $G$ peut être engendré par la somme de Gauss galoisienne correspondante. On en déduit que le module $O_N/O_\{N_1\}$ est $A$-libre.},
author = {Cougnard, Jean},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {Wildly ramified metacyclic extension; Gauß sum; Galois module structure},
language = {fre},
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pages = {1-12},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Propriétés locales et globales de certaines extensions métacycliques},
url = {http://eudml.org/doc/74536},
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TY - JOUR
AU - Cougnard, Jean
TI - Propriétés locales et globales de certaines extensions métacycliques
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1982
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 32
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SP - 1
EP - 12
AB - Soit $N/{\bf Q}$ une extension galoisienne à groupe de Galois métacyclique $G$ d’ordre $np^a$ ($n$ divisant $p-1$ et $a\ge 1$) possédant un sous-groupe distingué d’ordre $p^a$. On note $N_1$ l’unique sous-corps de $N$ de degré $np^{a-1}$ sur ${\bf Q}$, $O_N$ (resp. $O_{N_1}$) le clôture intégrale de ${\bf Z}$ dans $N$ (resp. $N_1$) et $v$ l’opérateur trace dans l’extension $N/N_1$. On démontre que $O_N/O_{N_1}$ est un module localement libre sur l’anneau $A= Z[G]/v$. On montre ensuite que l’idéal engendré par les résolvantes de Fröhlich associées à un caractère fidèle absolument irréductible de $G$ peut être engendré par la somme de Gauss galoisienne correspondante. On en déduit que le module $O_N/O_{N_1}$ est $A$-libre.
LA - fre
KW - Wildly ramified metacyclic extension; Gauß sum; Galois module structure
UR - http://eudml.org/doc/74536
ER -

References

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  1. [1] J. COUGNARD, Une propriété de l'anneau des entiers des extensions galoisiennes non abéliennes de degré pq des rationnels, Compositio Mathematica, vol. 40, fasc. 3 (1980), 407-416. Zbl0431.12005MR81m:12016
  2. [2] A. FRÖHLICH, Arithmetic and Galois module structure for tame extensions, J. reine angew. Math., 286/287 (1976), 380-440. Zbl0385.12004MR55 #5582
  3. [3] A. FRÖHLICH, Classgroups, in particular Hermitian classgroups (à paraître). 
  4. [4] J.-F. JAULENT, Structures galoisiennes dans les extensions métabéliennes, Thèse de 3e cycle (Besançon, 1979). 
  5. [5] J. MARTINET, Character theory and Artin L-functions. Algebraic Number fields, édité par A. Fröhlich, Academic Press, 1977. Zbl0359.12015MR56 #5502
  6. [6] L. REINER, Maximal orders, Academic Press, 1975. Zbl0305.16001
  7. [7] M. I. ROSEN, Représentations of twisted group rings, Thesis, Princeton University, 1963. 
  8. [8] S. M. J. WILSON, Reduced norms in the K-theory of orders, J. of Algebra, 46 (1977), 1-11. Zbl0358.16021MR56 #5526

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