Sur les ${𝐙}_2$-extensions d’un corps quadratique imaginaire

Gras, Georges. "Sur les ${\bf Z}_2$-extensions d’un corps quadratique imaginaire." Annales de l'institut Fourier 33.4 (1983): 1-18. <http://eudml.org/doc/74607>.

@article{Gras1983,
abstract = {Soit $k=\{\bf Q\}(\sqrt\{-m\})$ un corps quadratique imaginaire, soient $k_\infty $ et $F$ ses deux $\{\bf Z\}_2$-extensions naturelles (la cyclotomique et la prodiédrale), et soit $\check\{k\}$ son 2-corps de classes de Hilbert. Soient $\{\cal P\}$ le complété en 2 de $k$, $\rho =0$ ou 1, égale à 1 si et seulement si tout diviseur impair de $m$ est congru à $\pm 1\,\{\rm mod\}\, 8$, $\chi =0$ ou 1 le 2-rang de Gal$(k_\infty \cap F/k)$, et $t=0,1$ ou 2 le 2-rang de Gal$\check\{k\}_\infty F\cap \check\{k\}/k).$ On a $\chi \le \rho $, et des considérations cohomologiques élémentaires nous donnent d’autres contraintes entre $\{\cal P\}$, $\chi $ et $t$, mais nous trouvons 2 obstructions supplémentaires de nature arithmétique, ce qui nous permet d’obtenir la classification des corps $k$ par rapport aux invariants $\{\cal P\},\rho ,\chi ,t$ (19 cas dont 17 sont tels que $t=0\Leftrightarrow \chi =1$). Tous ces résultats reposent sur la description de Gal$(k_\infty F/k)$ au moyen d’une fonction logarithme convenable sur le groupe des idéaux de $k$, définie et étudiée dans 2 articles au Journal de Crelle.},
author = {Gras, Georges},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {imaginary quadratic field; Z2-extensions; 2-Hilbert class field; classification of fields},
language = {fre},
number = {4},
pages = {1-18},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Sur les $\{\bf Z\}_2$-extensions d’un corps quadratique imaginaire},
url = {http://eudml.org/doc/74607},
volume = {33},
year = {1983},
}

TY - JOUR
AU - Gras, Georges
TI - Sur les ${\bf Z}_2$-extensions d’un corps quadratique imaginaire
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1983
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 33
IS - 4
SP - 1
EP - 18
AB - Soit $k={\bf Q}(\sqrt{-m})$ un corps quadratique imaginaire, soient $k_\infty $ et $F$ ses deux ${\bf Z}_2$-extensions naturelles (la cyclotomique et la prodiédrale), et soit $\check{k}$ son 2-corps de classes de Hilbert. Soient ${\cal P}$ le complété en 2 de $k$, $\rho =0$ ou 1, égale à 1 si et seulement si tout diviseur impair de $m$ est congru à $\pm 1\,{\rm mod}\, 8$, $\chi =0$ ou 1 le 2-rang de Gal$(k_\infty \cap F/k)$, et $t=0,1$ ou 2 le 2-rang de Gal$\check{k}_\infty F\cap \check{k}/k).$ On a $\chi \le \rho $, et des considérations cohomologiques élémentaires nous donnent d’autres contraintes entre ${\cal P}$, $\chi $ et $t$, mais nous trouvons 2 obstructions supplémentaires de nature arithmétique, ce qui nous permet d’obtenir la classification des corps $k$ par rapport aux invariants ${\cal P},\rho ,\chi ,t$ (19 cas dont 17 sont tels que $t=0\Leftrightarrow \chi =1$). Tous ces résultats reposent sur la description de Gal$(k_\infty F/k)$ au moyen d’une fonction logarithme convenable sur le groupe des idéaux de $k$, définie et étudiée dans 2 articles au Journal de Crelle.
LA - fre
KW - imaginary quadratic field; Z2-extensions; 2-Hilbert class field; classification of fields
UR - http://eudml.org/doc/74607
ER -