Déterminant associé à une trace sur une algèbre de Banach

Pierre de La Harpe; Georges Skandalis

Annales de l'institut Fourier (1984)

  • Volume: 34, Issue: 1, page 241-260
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let A be a complex Banach algebra, let G L ∞ ( A ) be the stable general linear group of A and let G L ∞ 0 ( A ) be its connected component for the norm topology. We show that, for any non zero trace r : A → C , one may define a homomorphism Δ r from G L ∞ 0 ( A ) onto the quotient of the additive group C by the image r _ ( K 0 ( A ) ) of the Grothendieck group of A . If A = M n ( C ) (respectively if A is a finite continuous factor) with the usual trace, than exp ( i 2 π Δ r ) is the usual determinant (resp. exp ( R e ( i 2 π Δ r ) ) is that of Fuglede and Kadison). In general, the determinants Δ r make it possible to study the derived groups of G L 1 0 ( A ) and G L ∞ 0 ( A ) , et thus also the relationship between the Whitehead groups K 1 ( A ) and K 1 top ( A ) .

How to cite

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La Harpe, Pierre de, and Skandalis, Georges. "Déterminant associé à une trace sur une algèbre de Banach." Annales de l'institut Fourier 34.1 (1984): 241-260. <http://eudml.org/doc/74618>.

@article{LaHarpe1984,
abstract = {Soient $A$ une algèbre de Banach complexe, $GL_\{\infty \}(A)$ le groupe général linéaire stable de $A$ et $GL^0_\infty (A)$ sa composante connexe pour la topologie normique. Nous montrons que toute trace non nulle $r:A\rightarrow \{\bf C\}$ permet de définir un homomorphisme $\Delta _r$ de $GL^0_\infty (A)$ sur le quotient du groupe additif $\{\bf C\}$ par l’image $\underline\{r\}(K_0(A))$ du groupe de Grothendieck de $A$. Si $A=M_n(\{\bf C\})$ (respectivement si $A$ est un facteur fini continu) avec la trace usuelle, alors $\{\rm exp\}(i2\pi \Delta _r)$ est le déterminant usuel (resp. $\{\rm exp\}(\{\rm Re\}(i2\pi \Delta _r))$ est celui de Fuglede et Kadison). Dans le cas général, les déterminants $\Delta _r$ permettent d’étudier les groupes dérivés de $GL^0_1(A)$ et $GL^0_\infty (A)$, donc aussi la relation entre les groupes de Whitehead $K_1(A)$ et $K^\{\rm top\}_1(A)$.},
author = {La Harpe, Pierre de, Skandalis, Georges},
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TY - JOUR
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LA - fre
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UR - http://eudml.org/doc/74618
ER -

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