S -classes infinitésimales d’un corps de nombres algébriques

Jean-François Jaulent

Annales de l'institut Fourier (1984)

  • Volume: 34, Issue: 2, page 1-27
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
We introduce the notions of infinitesimal numbers and ideals attached to an algebraic number field K for a given prime number ℓ ; we give an interpretation of the Galois group 𝒜 ( K ) of the maximal abelian ℓ -extension of K unramified outside ℓ as the quotient of the tensor product Z ℓ ⊗ Z J ( K ) ( J ( K ) : group of ideals prime to ℓ ) by its submodule generated by the principal-infinitesimal ideals. Various consequences are obtained for the groups 𝒜 ( K ) ; in particular, we show the existence of a genus theory which looks like the usual one .

How to cite

top

Jaulent, Jean-François. "$S$-classes infinitésimales d’un corps de nombres algébriques." Annales de l'institut Fourier 34.2 (1984): 1-27. <http://eudml.org/doc/74629>.

@article{Jaulent1984,
abstract = {Nous introduisons les notions de nombres et d’idéaux infinitésimaux attachés à un corps de nombres algébriques $K$ relativement à un nombre premier donné $\ell $, et nous interprétons le groupe de Galois $\{\cal A\}(K)$ de la $\ell $-extension abélienne $\ell $-ramifiée maximale de $K$ comme quotient du tensorisé $\{\bf Z\}_\ell \otimes _\{\bf Z\} J(K)$ du groupe des idéaux étrangers à $\ell $ par le sous-module engendré par les idéaux principaux-infinitésimaux. Nous en déduisons diverses conséquences sur l’arithmétique des groupes $\{\cal A\}(K)$, en montrant en particulier qu’ils donnent lieu à une théorie des genres en tout point analogue à celles des groupes de classes au sens ordinaire.},
author = {Jaulent, Jean-François},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {infinitesimal l-classes; genus theory; class group; maximal Abelian l-ramified l-extension},
language = {fre},
number = {2},
pages = {1-27},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {$S$-classes infinitésimales d’un corps de nombres algébriques},
url = {http://eudml.org/doc/74629},
volume = {34},
year = {1984},
}

TY - JOUR
AU - Jaulent, Jean-François
TI - $S$-classes infinitésimales d’un corps de nombres algébriques
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1984
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 34
IS - 2
SP - 1
EP - 27
AB - Nous introduisons les notions de nombres et d’idéaux infinitésimaux attachés à un corps de nombres algébriques $K$ relativement à un nombre premier donné $\ell $, et nous interprétons le groupe de Galois ${\cal A}(K)$ de la $\ell $-extension abélienne $\ell $-ramifiée maximale de $K$ comme quotient du tensorisé ${\bf Z}_\ell \otimes _{\bf Z} J(K)$ du groupe des idéaux étrangers à $\ell $ par le sous-module engendré par les idéaux principaux-infinitésimaux. Nous en déduisons diverses conséquences sur l’arithmétique des groupes ${\cal A}(K)$, en montrant en particulier qu’ils donnent lieu à une théorie des genres en tout point analogue à celles des groupes de classes au sens ordinaire.
LA - fre
KW - infinitesimal l-classes; genus theory; class group; maximal Abelian l-ramified l-extension
UR - http://eudml.org/doc/74629
ER -

References

top
  1. [1] C. CHEVALLEY, Sur la théorie du corps de classes dans les corps finis et dans les corps locaux, J. Fac. Sc. Tokyo, 2 (1933), 365-476. Zbl59.0190.01JFM59.0190.01
  2. [2] A. FRÖHLICH, The genus field and genus group in finite number fields, Mathematika, 6 (1959), 40-46 & 142-146. Zbl0202.33005MR22 #4699
  3. [3] Y. FURUTA, The genus field and genus number in algebraic number fields, Nagoya Math. J., 29 (1967), 281-285. Zbl0166.05901MR35 #162
  4. [4] R. GILLARD, Formulations de la conjecture de Leopoldt et étude d'une condition suffisante, Abh. Math. Sem. Hamb., 48 (1979), 125-138. Zbl0396.12008MR80i:12007
  5. [5] G. GRAS, Groupe de Galois de la p-extension abélienne p-ramifiée maximale d'un corps de nombres, J. reine angew. Math., 333 (1982), 86-132. Zbl0477.12009MR84j:12008
  6. [6] G. GRAS, Logarithme p-adique et groupes de Galois, J. reine angew. Math., 343 (1983), 64-80. Zbl0501.12015MR86g:11066
  7. [7] R. GREENBERG, On the structure of certain Galois Groups, Inv. Math., 47 (1978), 85-99. Zbl0403.12004MR80b:12007
  8. [8] H. HASSE, Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper, II, Physica Verlag, Wurzburg (1965). Zbl0138.03202
  9. [9] K. IWASAWA, A note on the group of units of an algebraic number field, Abh. Math. Sem. Hamb., 20 (1956), 189-192. Zbl0071.26504MR17,946h
  10. [10] J.-F. JAULENT, Sur la théorie des genres dans une extension cyclique de degré lm d'un corps de nombres, métabélienne sur un sous-corps, Pub. Math. Fac. Sc. Besançon, (1980-1981). Zbl0493.12014
  11. [11] J.-F. JAULENT, Sous-groupe ambige, quotient des genres, et théorie d'Iwasawa, Sém. Delange-Pisot-Poitou (1981-1982). Zbl0521.12005
  12. [12] J.-F. JAULENT, Sur l'indépendance l-adique de nombres algébriques, J. Numb. Th. (à paraître). Zbl0571.12007
  13. [13] K. MASUDA, An application of the general norm residue symbol, Proc. Am. Math. Soc., 10 (1959), 245-252. Zbl0108.04302MR26 #1300

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.