S -classes infinitésimales d’un corps de nombres algébriques

Jean-François Jaulent

Annales de l'institut Fourier (1984)

  • Volume: 34, Issue: 2, page 1-27
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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We introduce the notions of infinitesimal numbers and ideals attached to an algebraic number field K for a given prime number ℓ ; we give an interpretation of the Galois group 𝒜 ( K ) of the maximal abelian ℓ -extension of K unramified outside ℓ as the quotient of the tensor product Z ℓ ⊗ Z J ( K ) ( J ( K ) : group of ideals prime to ℓ ) by its submodule generated by the principal-infinitesimal ideals. Various consequences are obtained for the groups 𝒜 ( K ) ; in particular, we show the existence of a genus theory which looks like the usual one .

How to cite

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Jaulent, Jean-François. "$S$-classes infinitésimales d’un corps de nombres algébriques." Annales de l'institut Fourier 34.2 (1984): 1-27. <http://eudml.org/doc/74629>.

@article{Jaulent1984,
abstract = {Nous introduisons les notions de nombres et d’idéaux infinitésimaux attachés à un corps de nombres algébriques $K$ relativement à un nombre premier donné $\ell $, et nous interprétons le groupe de Galois $\{\cal A\}(K)$ de la $\ell $-extension abélienne $\ell $-ramifiée maximale de $K$ comme quotient du tensorisé $\{\bf Z\}_\ell \otimes _\{\bf Z\} J(K)$ du groupe des idéaux étrangers à $\ell $ par le sous-module engendré par les idéaux principaux-infinitésimaux. Nous en déduisons diverses conséquences sur l’arithmétique des groupes $\{\cal A\}(K)$, en montrant en particulier qu’ils donnent lieu à une théorie des genres en tout point analogue à celles des groupes de classes au sens ordinaire.},
author = {Jaulent, Jean-François},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
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TY - JOUR
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PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
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AB - Nous introduisons les notions de nombres et d’idéaux infinitésimaux attachés à un corps de nombres algébriques $K$ relativement à un nombre premier donné $\ell $, et nous interprétons le groupe de Galois ${\cal A}(K)$ de la $\ell $-extension abélienne $\ell $-ramifiée maximale de $K$ comme quotient du tensorisé ${\bf Z}_\ell \otimes _{\bf Z} J(K)$ du groupe des idéaux étrangers à $\ell $ par le sous-module engendré par les idéaux principaux-infinitésimaux. Nous en déduisons diverses conséquences sur l’arithmétique des groupes ${\cal A}(K)$, en montrant en particulier qu’ils donnent lieu à une théorie des genres en tout point analogue à celles des groupes de classes au sens ordinaire.
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KW - infinitesimal l-classes; genus theory; class group; maximal Abelian l-ramified l-extension
UR - http://eudml.org/doc/74629
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References

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  1. [1] C. CHEVALLEY, Sur la théorie du corps de classes dans les corps finis et dans les corps locaux, J. Fac. Sc. Tokyo, 2 (1933), 365-476. Zbl59.0190.01JFM59.0190.01
  2. [2] A. FRÖHLICH, The genus field and genus group in finite number fields, Mathematika, 6 (1959), 40-46 & 142-146. Zbl0202.33005MR22 #4699
  3. [3] Y. FURUTA, The genus field and genus number in algebraic number fields, Nagoya Math. J., 29 (1967), 281-285. Zbl0166.05901MR35 #162
  4. [4] R. GILLARD, Formulations de la conjecture de Leopoldt et étude d'une condition suffisante, Abh. Math. Sem. Hamb., 48 (1979), 125-138. Zbl0396.12008MR80i:12007
  5. [5] G. GRAS, Groupe de Galois de la p-extension abélienne p-ramifiée maximale d'un corps de nombres, J. reine angew. Math., 333 (1982), 86-132. Zbl0477.12009MR84j:12008
  6. [6] G. GRAS, Logarithme p-adique et groupes de Galois, J. reine angew. Math., 343 (1983), 64-80. Zbl0501.12015MR86g:11066
  7. [7] R. GREENBERG, On the structure of certain Galois Groups, Inv. Math., 47 (1978), 85-99. Zbl0403.12004MR80b:12007
  8. [8] H. HASSE, Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper, II, Physica Verlag, Wurzburg (1965). Zbl0138.03202
  9. [9] K. IWASAWA, A note on the group of units of an algebraic number field, Abh. Math. Sem. Hamb., 20 (1956), 189-192. Zbl0071.26504MR17,946h
  10. [10] J.-F. JAULENT, Sur la théorie des genres dans une extension cyclique de degré lm d'un corps de nombres, métabélienne sur un sous-corps, Pub. Math. Fac. Sc. Besançon, (1980-1981). Zbl0493.12014
  11. [11] J.-F. JAULENT, Sous-groupe ambige, quotient des genres, et théorie d'Iwasawa, Sém. Delange-Pisot-Poitou (1981-1982). Zbl0521.12005
  12. [12] J.-F. JAULENT, Sur l'indépendance l-adique de nombres algébriques, J. Numb. Th. (à paraître). Zbl0571.12007
  13. [13] K. MASUDA, An application of the general norm residue symbol, Proc. Am. Math. Soc., 10 (1959), 245-252. Zbl0108.04302MR26 #1300

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