Meilleure approximation polynomiale et croissance des fonctions entières sur certaines variétés algébriques affines

Ahmed Zeriahi

Annales de l'institut Fourier (1987)

  • Volume: 37, Issue: 2, page 79-104
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let K be a polynomially convex compact set of C n and V K its “logarithmic extremal potential” in C n . Suppose that K is regular (e.g. V K continuous) and let f be a holomorphic function on a neightborhood of K . We construct a sequence { P ℓ } ℓ ≥ 1 of polynomials in n complex variables with deg ( P ) ≤ ℓ for every ℓ ≥ 1 , such that the approximation error max z ∈ K | f ( z ) - P ℓ ( z ) | is estimated in terms of the “pseudoradius of convergence” of f with respect to K and the degree of convergence ℓ . This result is then used to extend to C n the classical S.N. Bernstein’s result relating the prolongation of a continuous function on K by an entire function of given order and type to the best polynomial approximation error of f on K .

How to cite

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Zeriahi, Ahmed. "Meilleure approximation polynomiale et croissance des fonctions entières sur certaines variétés algébriques affines." Annales de l'institut Fourier 37.2 (1987): 79-104. <http://eudml.org/doc/74758>.

@article{Zeriahi1987,
abstract = {Soit $K$ un compact polynomialement convexe de $\{\bf C\}^n$ et $V_K$ son “potentiel logarithmique extrémal” dans $\{\bf C\}^n$. Supposons que $K$ est régulier (i.e. $V_K$ continue) et soit $f$ une fonction holomorphe sur un voisinage de $K$. On construit alors une suite $\lbrace \{\bf P\}_\ell \rbrace _\{\ell \ge 1\}$ de polynôme de $n$ variables complexes avec deg$(\{\bf P\}_)\le \ell $ pour $\ell \ge 1$, telle que l’erreur d’approximation $\{\rm max\}_ \{z\in K\} \vert f(z)-P_\ell (z)\vert $ soit contrôlée de façon assez précise en fonction du “pseudorayon de convergence” de $f$ par rapport à $K$ et du degré de convergence $\ell $. Ce résultat est ensuite utilisé pour étendre à $\{\bf C\}^n$ un résultat classique de S.N. Bernstein liant le prolongement analytique d’une fonction continue sur $K$ par une fonction entière d’ordre et de type donnés au comportement asymptotique de l’erreur de la meilleure approximation polynomiale de $f$ sur $K$.},
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