Cyclicité finie des polycycles hyperboliques de champs de vecteurs du plan. Algorithme de finitude

Abderaouf Mourtada

Annales de l'institut Fourier (1991)

  • Volume: 41, Issue: 3, page 719-753
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
Using the Normalisation Theorem of Mourtada (Lect. Notes. in Math., no 1445, pp. 272-314), we show that generic hyperbolic polycycles are of finite cyclicity in C ∞ families of vector fields on the plane. A consequence is that the Hilbert 16th problem is locally true in some open and dense subset of the space of polynomial vector fields on the plane of degree less than or equal to n .

How to cite

top

Mourtada, Abderaouf. "Cyclicité finie des polycycles hyperboliques de champs de vecteurs du plan. Algorithme de finitude." Annales de l'institut Fourier 41.3 (1991): 719-753. <http://eudml.org/doc/74935>.

@article{Mourtada1991,
abstract = {Utilisant le Théorème de Normalisation de Mourtada (Lect. Notes. in Math., no 1445, pp. 272-314), on montre que les polycycles hyperboliques et génériques sont de cyclicité finie dans les familles $C^\infty $ de champs de vecteurs du plan. Ceci implique que le 16e problème de Hilbert est localement vrai sur un ouvert dense dans l’espace des champs de vecteurs polynomiaux du plan de degré $\le n$.},
author = {Mourtada, Abderaouf},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {saddle point; generic unfolding; hyperbolicity ratio; displacement map; finite cyclicity; vector fields},
language = {fre},
number = {3},
pages = {719-753},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Cyclicité finie des polycycles hyperboliques de champs de vecteurs du plan. Algorithme de finitude},
url = {http://eudml.org/doc/74935},
volume = {41},
year = {1991},
}

TY - JOUR
AU - Mourtada, Abderaouf
TI - Cyclicité finie des polycycles hyperboliques de champs de vecteurs du plan. Algorithme de finitude
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1991
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 41
IS - 3
SP - 719
EP - 753
AB - Utilisant le Théorème de Normalisation de Mourtada (Lect. Notes. in Math., no 1445, pp. 272-314), on montre que les polycycles hyperboliques et génériques sont de cyclicité finie dans les familles $C^\infty $ de champs de vecteurs du plan. Ceci implique que le 16e problème de Hilbert est localement vrai sur un ouvert dense dans l’espace des champs de vecteurs polynomiaux du plan de degré $\le n$.
LA - fre
KW - saddle point; generic unfolding; hyperbolicity ratio; displacement map; finite cyclicity; vector fields
UR - http://eudml.org/doc/74935
ER -

References

top
  1. [A] A.A. ANDRONOV, E.A. LEONTOVITCH, I.I. GORDON and A.G. MAIER, Theory of bifurcation of dynamical systems on the plane, Israel program of scientific translations, Jerusalem, 1971. 
  2. [B] N. BAUTIN, On the number of limit cycles appearing with variations of the coefficients from an equilibrium state of the type of a focus or a center, Mat. Sb. (N.S), 30 (72) (1952), 181-196. Zbl0059.08201MR13,652a
  3. [EMMR] J. ECALLE, J. MARTINET, R. MOUSSU, J.P. RAMIS, Non-accumulation de cycles limites, C.R.A.S., t. 304, série I, n° 14 (1987), (I) : 375-378, (II) : 431-434. Zbl0615.58011MR89i:58121a
  4. [FP] J.P. FRANÇOISE and C.C. PUGH, Keeping track of limit cycles, Journal of Diff. Eq., 65 (1986), 139-157. Zbl0602.34019MR88a:58162
  5. [I] YU. IL'YASHENKO, Ycπ, Man. Hayk., 42, 3 (1987), 223. 
  6. [L] L.A. CHERKAS, Structure Of A Successor Function In The Neighborhood Of A Separatrix Of A Perturbed Analytic Autonomous System In The Plan, Translated From Differentsial'nye Uravneniya, Vol. 17, n° 3, March. 1981, pp. 469-478. Zbl0503.34019MR82i:34029
  7. [M1] A. MOURTADA, Cyclicité finie des polycycles hyperboliques de champs de vecteurs du plan- Mise sous forme normale, L.N.M., Proceeding Luminy 1989 (Bifurcations of planar vector fields), Ed. J.P. Françoise et R. Roussarie, n° 1445, pp. 272-314. Zbl0719.58031
  8. [M2] A. MOURTADA, Bifurcation de cycles limites au voisinage de polycycles hyperboliques et génériques à trois sommets, Preprint-Dijon (1990). 
  9. [M3] A. MOURTADA, Bifurcation de cycles limites au voisinage de polycycles hyperboliques et génériques à quatre sommets, Preprint-Dijon (1990). 
  10. [M4] A. MOURTADA, Polycycles hyperboliques et génériques à trois ou quatre sommets, Thèse-Dijon. 
  11. [M5] A. MOURTADA, Déformations verselles de polycycles hyperboliques à quatre sommets de cyclicité cinq dans les familles génériques, Preprint-Dijon (1990). 
  12. [P] J. PALIS, Jr, W. De MELO, Geometric theory of dynamical systems, Springer-Verlag, New-york, Heidelberg, Berlin. 
  13. [R] R. ROUSSARIE, A note on finite cyclicity property and Hilbert's 16th problem, Dynamical systems (proc. Chilean symp., Valparaiso 1986), L.N.M. n° 1331, ed. R. Barmon, R. Labarca and J. Palis, Jr, (Berlin : Springer) 1988, pp. 161-168. Zbl0676.58046MR90b:58227

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.