Localisation pour des opérateurs de Schrödinger aléatoires dans L 2 ( ℝ d ) : un modèle semi-classique

Frédéric Klopp

Annales de l'institut Fourier (1995)

  • Volume: 45, Issue: 1, page 265-316
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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In L 2 ( ℝ d ) , we prove exponential localization for a semi-classical periodic Schrödinger operator perturbated by small independant identically distributed random perturbations put in each well of the periodic potential. To do this, we first show that our operator, restricted to some suitably chosen energy interval, is unitarily equivalent to an infinite random matrix with coefficients we can control. Then, for this type of random matrices, we prove an Anderson localization theorem. We also apply this result to prove localization at large energy or large disorder, for long range discrete Anderson models.

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Klopp, Frédéric. "Localisation pour des opérateurs de Schrödinger aléatoires dans $L^2({\mathbb {R}}^d)$ : un modèle semi-classique." Annales de l'institut Fourier 45.1 (1995): 265-316. <http://eudml.org/doc/75117>.

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abstract = {Dans $L^2 (\{\Bbb R\}^d)$, nous démontrons un résultat de localisation exponentielle pour un opérateur de Schrödinger semi-classique à potentiel périodique perturbé par de petites perturbations aléatoires indépendantes identiquement distribuées placées au fond de chaque puits. Pour ce faire, on montre que notre opérateur, restreint à un intervalle d’énergie convenable, est unitairement équivalent à une matrice aléatoire infinie dont on contrôle bien les coefficients. Puis, pour ce type de matrices, on prouve un résultat de type localisation d’Anderson. On applique aussi ce résultat pour prouver la localisation à grande énergie ou grand désordre, pour des modèles d’Anderson discrets à longue portée.},
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References

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  1. [Be] YU. M. BEREZANSKII, On expansion in eigenfunctions of self-adjoint operators, Ukrain. Math. Zh., 11 (1959), 16-24, English transl. in Amer. Math. Soc. Trans. (2), 93 (1970). Zbl0206.13404
  2. [Ca] U. CARLSSON, An infinite number of wells in the semi-classical limit, Asympt. Anal., vol. 3 (1990), 189-214. Zbl0727.35094MR91i:35134
  3. [C] R. CARMONA, Exponential localization in one dimensional disordered systems, Duke Math. Jour., 49 (1982), 191-213. Zbl0491.60058MR84j:82082
  4. [C-L] R. CARMONA, J. LACROIX, Spectral theory of random Schrödinger operators, Birkhäuser, Boston Basel Berlin, 1990. Zbl0717.60074
  5. [Co-His] J.M. COMBES, P.D. HISLOP, Some transport and spectral properties of disordered media, Schrödinger operators: the quantum mechanical many-body problem, LNP 403 (E. Balslev, eds.) Proceedings, Aarhus, Denmark 1991, Springer, Berlin-Heidelberg-New-York (1992), 16-47. Zbl0833.47058MR93k:81047
  6. [vDK1] H. VON DREYFUS, A. KLEIN, A new proof of localization in the Anderson tight binding model, Commun. Math. Phys., 124 (1989), 285-299. Zbl0698.60051MR90k:82056
  7. [vDK2] H. VON DREYFUS, A. KLEIN, Localization for random Schrödinger operators with correlated potentials, Commun. Math. Phys., 140 (1991), 133-147. Zbl0734.60070
  8. [FMSS] J. FRÖHLICH, F. MARTINELLI, E. SCOPPOLA, T. SPENCER, Constructive proof of localization in the Anderson tight binding model, Commun. Math. Phys., 101 (1985), 21-46. Zbl0573.60096MR87a:82047
  9. [FS] J. FRÖHLICH, T. SPENCER, Absence of diffusion in the Anderson tight binding model, Commun. Math. Phys., 88 (1983), 151-184. Zbl0519.60066
  10. [GMP] Ya. GOL'DSHEID, S. MOLCHANOV, L. PASTUR, Pure point spectrum of stochastic one dimensional Schrödinger operators, Funct. Anal. Appl., 11 (1977) 1. Zbl0368.34015
  11. [Gr] V. GRINSHPUN, Point spectrum of random infinite order operators acting on l2(ℤd), Dok. Akad. Nauk Ukraïni, 8 (1992), 18-21 (en russe). 
  12. [HM] H. HOLDEN, F. MARTINELLI, A remark on the absence of diffusion near the bottom of the spectrum for a random Schrödinger operator in L2(Rv), Commun. Math. Phys., 93, (1984) 197-217. Zbl0546.60063MR85m:82103
  13. [He-Sj] B. HELFFER, J. SJÖSTRAND, Multiple wells in the semi-classical limit 1, Comm. P.D.E, 9 (1984), 337-408. Zbl0546.35053
  14. [Kl] F. KLOPP, Étude semi-classique d'une perturbation d'un opérateur de Schrödinger périodique, Ann. Inst. Henri Poincaré, sér. Phys. Théor., 55 (1991), 459-509. Zbl0754.35100MR93c:35027
  15. [KoSi] S. KOTANI, B. SIMON, Localization in general one dimensional systems, II, Commun. Math. Phys., 112 (1987), 103-119. Zbl0637.60080MR89d:81034
  16. [KuSo] H. KUNZ, B. SOUILLARD, Sur le spectre des opérateurs aux différences finies aléatoires, Commun. Math. Phys., 78 (1980), 201-246. Zbl0449.60048MR83f:39003
  17. [MS1] F. MARTINELLI, E. SCOPPOLA, Introduction to the mathematical theory of Anderson localization, Riv. Nuovo Cim., 10 (1987), N10. 
  18. [MS2] F. MARTINELLI, E. SCOPPOLA, Remark on the absence of absolutely continuous spectrum for d-dimensional Schrödinger operators with random potential for large disorder and low energy, Commun. Math. Phys., 97 (1985), 465-471. Zbl0603.60060MR87b:81029a
  19. [O] A. OUTASSOURT, Comportement semi-classique pour l'opérateur de Schrödinger à potentiel périodique, J. Funct. Anal., 72 (1987), 65-93. Zbl0662.35023MR88k:35049
  20. [P] L. PASTUR, Spectra of random self-adjoint operators, Russ. Math. Surv., 28 (1973), 1. Zbl0277.60049MR53 #10042
  21. [PFi] L. PASTUR, A. FIGOTIN, Spectra of random and almost-periodic operators, Springer, Berlin-Heidelberg-New-York, 1992. Zbl0752.47002MR94h:47068
  22. [Si1] B. SIMON, Semi-classical analysis of low lying eigenvalues III. Width of the ground state band in strongly coupled solids, Ann. Phys., 158 (1984), 415-420. Zbl0596.35028MR87h:81045b
  23. [Si2] B. SIMON, Schrödinger semigroups, Bull. Am. Math. Soc., 7 (1982), 447-526. Zbl0524.35002MR86b:81001a
  24. [Wa] W.-M. WANG, Exponential decay of green's functions for a class of long range hamiltonians, Commun. Math. Phys., 136 (1991), 35-41. Zbl0726.58032MR92b:81034
  25. [We] F. WEGNER, Bounds on the density of states in disordered systems, 1981, Z. Phys., B44 (1981), 9-15. 

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