Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet

Jean-Pierre Kahane; Hervé Queffélec

Annales de l'institut Fourier (1997)

  • Volume: 47, Issue: 2, page 485-529
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
Optimal or almost optimal answers are given to the following questions, going back to Stieltjes, Landau and Bohr, about Dirichlet series A j = ∑ n = 1 ∞ a ( j , n ) n - s ( j = 1 , 2 , ⋯ , k ) and their product C = ∑ n = 1 ∞ c ( n ) n - s . 1. Assuming that the A j converge at points ρ j and converge absolutely at points ρ j + τ j , at which points s does it follow that C converges ?2. Assuming that the A j converge at points ρ j , at which points s does it follow that C converges ?3. Assuming that the A j are α j -summable at points ρ j , at which points s does it follow that C is β -summable ?The answers involve convex functions which enjoy another extremal property: they are the largest order (= Lindelöf) functions compatible with the data.

How to cite

top

Kahane, Jean-Pierre, and Queffélec, Hervé. "Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet." Annales de l'institut Fourier 47.2 (1997): 485-529. <http://eudml.org/doc/75235>.

@article{Kahane1997,
abstract = {L’article donne des réponses optimales ou presque optimales aux questions suivantes, qui remontent à Stieltjes, Landau et Bohr, et concernent des séries de Dirichlet $A_j= \sum \limits ^\{ \infty \}_\{ n=1\}a(j,n)n^\{-s\} $$ (j=1,2,\cdots ,k) $ et leur produit $C= \sum \limits ^\{ \infty \}_\{ n=1\}c(n)n^\{-s\}. $1. Supposant que les $ A_j $ sont convergentes aux points $ \rho _ j $ et absolument convergentes aux points $ \rho _ j+\tau _ j, $ en quels points $ s $ s’ensuit-il que $ C $ est convergente ?2. Supposant que les $ A_j $ sont convergentes aux points $ \rho _ j, $ en quels points $ s $ s’ensuit-il que $ C $ est convergente ?3. Supposant que les $ A_j $ sont $ \alpha _ j $-sommables aux points $ \rho _ j, $ en quels points $ s $ s’ensuit-il que $ C $ est $ \beta $-sommable ?Les réponses font intervenir des fonctions convexes qui jouent un rôle extrémal pour une autre question : ce sont les plus grandes fonctions d’ordre (dites aussi fonctions de Lindelöf) compatibles avec les données.},
author = {Kahane, Jean-Pierre, Queffélec, Hervé},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {Dirichlet series; order; convergence; summability; Bohr; Riesz means; almost sure convergence; Lindelöf function; almost sure Fubini theorem},
language = {fre},
number = {2},
pages = {485-529},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet},
url = {http://eudml.org/doc/75235},
volume = {47},
year = {1997},
}

TY - JOUR
AU - Kahane, Jean-Pierre
AU - Queffélec, Hervé
TI - Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1997
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 47
IS - 2
SP - 485
EP - 529
AB - L’article donne des réponses optimales ou presque optimales aux questions suivantes, qui remontent à Stieltjes, Landau et Bohr, et concernent des séries de Dirichlet $A_j= \sum \limits ^{ \infty }_{ n=1}a(j,n)n^{-s} $$ (j=1,2,\cdots ,k) $ et leur produit $C= \sum \limits ^{ \infty }_{ n=1}c(n)n^{-s}. $1. Supposant que les $ A_j $ sont convergentes aux points $ \rho _ j $ et absolument convergentes aux points $ \rho _ j+\tau _ j, $ en quels points $ s $ s’ensuit-il que $ C $ est convergente ?2. Supposant que les $ A_j $ sont convergentes aux points $ \rho _ j, $ en quels points $ s $ s’ensuit-il que $ C $ est convergente ?3. Supposant que les $ A_j $ sont $ \alpha _ j $-sommables aux points $ \rho _ j, $ en quels points $ s $ s’ensuit-il que $ C $ est $ \beta $-sommable ?Les réponses font intervenir des fonctions convexes qui jouent un rôle extrémal pour une autre question : ce sont les plus grandes fonctions d’ordre (dites aussi fonctions de Lindelöf) compatibles avec les données.
LA - fre
KW - Dirichlet series; order; convergence; summability; Bohr; Riesz means; almost sure convergence; Lindelöf function; almost sure Fubini theorem
UR - http://eudml.org/doc/75235
ER -

References

top
  1. [B1] H. BOHR, On the convergence problem for Dirichlet series, Dan. Mat. Fys. Medd., 25, 6 (1946), 1-18 (I A 17 in Collected Math. Works). 
  2. [B2] H. BOHR, On multiplication of summable Dirichlet series, Mat. Tidsskr., (1950), 71-75 (I A 19 in Collected Math. Works). Zbl0039.08203MR12,404d
  3. [B3] H. BOHR, On the summability function and the order function of Dirichlet series, Dan. Mat. Fys. Medd., 27, no. 4 (1952), 3-38 (manuscript prepared by E. Følner) (I A 22 in Collected Math. Works). Zbl0046.30203MR14,634h
  4. [Bo] N. BOURBAKI, Utilisation des nombres réels en topologie générale, Chapitre 9, Paris, Hermann, 1958. Zbl0085.37103
  5. [DT] H. DELANGE & G. TENENBAUM, Un théorème sur les séries de Dirichlet, Monatshefte Mat., 113 (1992), 99-105. Zbl0765.30002MR93d:11087
  6. [HR] G. H. HARDY & M. RIESZ, The general theory of Dirichlet series, Cambridge tracts in Math. and Math. Physics, 18 (1915). JFM45.0387.03
  7. [K1] J.-P. KAHANE, The last problem of Harald Bohr, J. Austr. Math. Soc., A 47 (1989), 133-152. Zbl0734.30003MR90f:30002
  8. [K2] J.-P. KAHANE, Sur trois notes de Stieltjes relatives aux séries de Dirichlet. Numéro spécial “100 ans après Stieltjes” des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, (1996), 33-56. Zbl0877.01023MR99f:11106
  9. [L1] E. LANDAU, Über die Multiplication Dirichlet'schen Reihen, Rendiconti di Palermo, 24 (1907), 81-160. JFM38.0322.01
  10. [L2] E. LANDAU, Über das Konvergenzproblem der Dirichlet'schen Reihen, Rendiconti di Palermo, 28 (1909), 113-151. JFM40.0311.03
  11. [Q] H. QUEFFELEC, Propriétés presque-sûres et quasi-sûres des séries de Dirichlet et des produits d'Euler, Canad. J. Math., 32 (1980), 531-558. Zbl0475.30006MR82c:10050
  12. [Ri] M. RIESZ, Sur l'équivalence de certaines méthodes de sommation, Proc. London Math. Soc., (2) 22 (1924), 412-419. Zbl50.0154.01JFM50.0154.01
  13. [Ru] W. RUDIN, Real and complex analysis, 3rd ed. Mc-Graw Hill, 1987, p. 118. Zbl0925.00005MR88k:00002

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.