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Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet

Jean-Pierre Kahane; Hervé Queffélec

Annales de l'institut Fourier (1997)

  • Volume: 47, Issue: 2, page 485-529
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Optimal or almost optimal answers are given to the following questions, going back to Stieltjes, Landau and Bohr, about Dirichlet series A j = ∑ n = 1 ∞ a ( j , n ) n - s ( j = 1 , 2 , ⋯ , k ) and their product C = ∑ n = 1 ∞ c ( n ) n - s . 1. Assuming that the A j converge at points ρ j and converge absolutely at points ρ j + τ j , at which points s does it follow that C converges ?2. Assuming that the A j converge at points ρ j , at which points s does it follow that C converges ?3. Assuming that the A j are α j -summable at points ρ j , at which points s does it follow that C is β -summable ?The answers involve convex functions which enjoy another extremal property: they are the largest order (= Lindelöf) functions compatible with the data.

How to cite

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Kahane, Jean-Pierre, and Queffélec, Hervé. "Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet." Annales de l'institut Fourier 47.2 (1997): 485-529. <http://eudml.org/doc/75235>.

@article{Kahane1997,
abstract = {L’article donne des réponses optimales ou presque optimales aux questions suivantes, qui remontent à Stieltjes, Landau et Bohr, et concernent des séries de Dirichlet $A_j= \sum \limits ^\{ \infty \}_\{ n=1\}a(j,n)n^\{-s\} $$ (j=1,2,\cdots ,k) $ et leur produit $C= \sum \limits ^\{ \infty \}_\{ n=1\}c(n)n^\{-s\}. $1. Supposant que les $ A_j $ sont convergentes aux points $ \rho _ j $ et absolument convergentes aux points $ \rho _ j+\tau _ j, $ en quels points $ s $ s’ensuit-il que $ C $ est convergente ?2. Supposant que les $ A_j $ sont convergentes aux points $ \rho _ j, $ en quels points $ s $ s’ensuit-il que $ C $ est convergente ?3. Supposant que les $ A_j $ sont $ \alpha _ j $-sommables aux points $ \rho _ j, $ en quels points $ s $ s’ensuit-il que $ C $ est $ \beta $-sommable ?Les réponses font intervenir des fonctions convexes qui jouent un rôle extrémal pour une autre question : ce sont les plus grandes fonctions d’ordre (dites aussi fonctions de Lindelöf) compatibles avec les données.},
author = {Kahane, Jean-Pierre, Queffélec, Hervé},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {Dirichlet series; order; convergence; summability; Bohr; Riesz means; almost sure convergence; Lindelöf function; almost sure Fubini theorem},
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title = {Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet},
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TY - JOUR
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UR - http://eudml.org/doc/75235
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References

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