Combinatoire des arbres planaires et arithmétique des courbes hyperelliptiques

Fedor Pakovitch

Annales de l'institut Fourier (1998)

  • Volume: 48, Issue: 2, page 323-351
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
The aim of this article is to propose a new method for the study of some questions related to the action of the absolute Galois group on the set of plane trees, in the context of the Grotendieck theory of “Dessins d’enfants”. Starting with a plane tree with n edges, we construct a hyperelliptic curve with an n -division point. This enables us to establish a relation between the theory of “Dessins d’enfants” and the theory of torsion on hyperelliptic curves. In particular, using the results on torsion on elliptic curves we obtain the lower bounds on the degrees of the fields of moduli of some trees. On the other hand, we obtain the interesting series of examples of torsion on hyperelliptic curves.

How to cite

top

Pakovitch, Fedor. "Combinatoire des arbres planaires et arithmétique des courbes hyperelliptiques." Annales de l'institut Fourier 48.2 (1998): 323-351. <http://eudml.org/doc/75284>.

@article{Pakovitch1998,
abstract = {Le but de cet article est de proposer une nouvelle méthode pour des études dans le cadre de la théorie des “dessins d’enfants” de A. Grothendieck de certaines questions concernant l’action du groupe de Galois absolu sur l’ensemble des arbres planaires.On définit l’application qui associe à chaque arbre planaire à $n$ arêtes, une courbe hyperelliptique avec un point de $n$-division. Cette construction permet d’établir un lien entre la théorie de la torsion des courbes hyperelliptiques et celle des “dessins d’enfants”. En particulier, en utilisant les résultats correspondants sur la torsion des courbes elliptiques, on obtient des bornes inférieures sur les degrés des corps des modules des arbres de certaines classes. D’autre part, la construction ci-dessus donne une suite intéressante d’exemples de diviseurs rationnels de torsion sur des courbes hyperelliptiques définies sur des corps de nombres.},
author = {Pakovitch, Fedor},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {dessins d'enfants; Galois theory; trees; Belyi functions; Shabat polynomials; torsion points on elliptic curves; hyperelliptic curves},
language = {fre},
number = {2},
pages = {323-351},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Combinatoire des arbres planaires et arithmétique des courbes hyperelliptiques},
url = {http://eudml.org/doc/75284},
volume = {48},
year = {1998},
}

TY - JOUR
AU - Pakovitch, Fedor
TI - Combinatoire des arbres planaires et arithmétique des courbes hyperelliptiques
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1998
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 48
IS - 2
SP - 323
EP - 351
AB - Le but de cet article est de proposer une nouvelle méthode pour des études dans le cadre de la théorie des “dessins d’enfants” de A. Grothendieck de certaines questions concernant l’action du groupe de Galois absolu sur l’ensemble des arbres planaires.On définit l’application qui associe à chaque arbre planaire à $n$ arêtes, une courbe hyperelliptique avec un point de $n$-division. Cette construction permet d’établir un lien entre la théorie de la torsion des courbes hyperelliptiques et celle des “dessins d’enfants”. En particulier, en utilisant les résultats correspondants sur la torsion des courbes elliptiques, on obtient des bornes inférieures sur les degrés des corps des modules des arbres de certaines classes. D’autre part, la construction ci-dessus donne une suite intéressante d’exemples de diviseurs rationnels de torsion sur des courbes hyperelliptiques définies sur des corps de nombres.
LA - fre
KW - dessins d'enfants; Galois theory; trees; Belyi functions; Shabat polynomials; torsion points on elliptic curves; hyperelliptic curves
UR - http://eudml.org/doc/75284
ER -

References

top
  1. [Ab] N.H. ABEL, Uber die Integration der Differential-Formel ρdx/√R wenn ρ und R ganze Functionen sind, J. Reine Angew. Math., 1 (1826), 185-221. 
  2. [Ak] N.I. AKHIEZER, Elements of the Theory of Elliptic Functions, AMS Translations of mathematical monographs, 79 (1990). Zbl0694.33001MR91k:33016
  3. [AdSh] N.M. ADRIANOV, G.B. SHABAT, Planar dessins with one face and polynomials with two critical values, Preprint, 1990 (en russe). 
  4. [AKSS] N.M. ADRIANOV, Yu. Yu. KOCHETKOV, A.D. SUVOROV and G.B. SHABAT, Mathieu groupes and plane trees, Fundamentalnaiya i prikladnaya matematika, 1 (1995), 377-384 (en russe). Zbl0868.20015
  5. [AdZv] N. ADRIANOV, A. ZVONKIN, Composition of plane trees, soumis à Acta Applicandae Mathematicae. Zbl0914.05017
  6. [AR] W. W. Adams, M.J. RAZAR, Multiples of points on elliptic curves and continued fractions, Proc. London Math. Soc., 41 (1980), 481-498. Zbl0403.14002MR82c:14031
  7. [Be] G.V. BELYI, On Galois extension of a maximal cylotomic field, Math. USSR Izvestija, 14, 2 (1980), 247-256. Zbl0429.12004
  8. [Ber] T.G. BERRY, On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields, Arch. Math., 55 (1990), 259-266. Zbl0728.14027MR91h:11049
  9. [BPZ] J. BÉTRÉMA, D. PÉRÉ, A. ZVONKIN, Plane trees and their Shabat polynomials (Catalog), Rapport interne de LaBRI, n° 92-75, Bordeaux, 1992. 
  10. [Ch] P. CHEBYSHEV, Sur l'intégration de la différentielle (x+A)/√x4+ϑx3+βx2+γdx, Bull. Acad. Impériale de Saint-Pétersbourg, 3 (1861), 1-12. (Réédité dans Journal des Math. Pures et Appl., 2, 9 (1864), 225-246). 
  11. [Couv] J.-M. COUVEIGNES, Calcul et rationalité des fonctions de Belyi en genre 0, Ann. Inst. Fourier, 44-1 (1994), 1-38. Zbl0791.11059MR96k:11080
  12. [Gr] A. GROTHENDIECK, Esquisse d'un programme, non publié, 1984. 
  13. [Fl1] E.F. FLYNN, Sequences of rational torsion on abelian varieties, Inventiones Math., 106 (1991), 433-442. Zbl0788.14040MR93b:11075
  14. [Fl2] E.F. FLYNN, The arithmetic of hyperelliptic curves, in Algorithms in Algebraic Geometry and applications, Birkhauser, Progress in Mathematics, 143 (1996), 165-175. Zbl0874.14012MR97g:11066
  15. [GH] P. GRIFFITHS, J. HARRIS, Principles of Algebraic Geometry, New York, John Wiley and Sons, 1978. Zbl0408.14001MR80b:14001
  16. [Hal] G.H. HALPHEN, Traité des fonctions elliptiques et leurs applications, Paris, 1886-1891. JFM18.0377.01
  17. [HL] Y. HELLEGOUARCH, M. LOZACH, Équation de Pell et points d'ordre fini, in Analitic and Elementary Number Theory, Marseille, Publ. Math. Orsay, 86-1, 1983. Zbl0594.10007MR87k:11063
  18. [HBJ] F. HIRZEBRUCH, T. BERGER, R. JUNG, Manifolds and modular forms, Bonn, Vieweg, 1992. Zbl0767.57014MR94d:57001
  19. [Jun] R. JUNG, Zolotarev-Polynome und die Modulkurve X1(N), Diplomarbeit, Bonn, 1989. 
  20. [La] S. LANG, Introduction to modular forms, Springer-Verlag, 1976. 
  21. [Le1] F. LEPRÉVOST, Famille de courbes hyperelliptique de genre g munies d'une classe de diviseurs rationnels d'ordre 2g2 + 4g + 1, in Séminaire de théorie des nombres, Paris, France, 1991-1992, Birkhauser, Progress in Mathematics, 116 (1994), 107-119. Zbl0842.14015MR96a:11057
  22. [Le2] F. LEPRÉVOST, Torsion sur des familles de courbes de genre g, Manuscripta Math., 75 (1992), 303-326. Zbl0790.14021MR93k:11059
  23. [Mag] N. MAGOT, Communication personnelle. 
  24. [Maz] B. MAZUR, Rational points of modular curves, in Modular Functions of One Variable V, Lecture Notes in Math., Springer, 601 (1977), 107-148. Zbl0357.14005MR56 #8579
  25. [Mer] L. MEREL, Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres, Invent. Math., 124 (1996), 437-449. Zbl0936.11037MR96i:11057
  26. [MM] H. P. McKean, P. van MOERBEKE, Hill and Toda Curves, Communication on Pure and Applied Mathematics, XXXIII (1980), 23-42. Zbl0422.14017MR81b:14016
  27. [P1] F.B. PAKOVITCH, Les polynômes elliptiques, Uspechi Mat. Nauk, 58, 8 (1995), 312-314 (en russe). 
  28. [Pay] R. PAYSANT-LE ROUX, Périodicité des fractions continues dans un corps de fonctions hyperelliptiques, Arch. Math., 61 (1993), 45-58. Zbl0778.11065MR94g:11106
  29. [R] J.F. RITT, Prime and composite polynomials, Trans. Amer. Math. Soc., 23 (1922), 51-66. Zbl48.0079.01JFM48.0079.01
  30. [Schn] L. SCHNEPS, Dessins d'Enfants on the Riemann Sphere, in The Grothendieck Theory of Dessins d'Enfants, L. Shneps eds., Cambridge University Press London Mathematical Society Lecture Notes series, 200 (1994), 47-77. Zbl0823.14017MR95j:11061
  31. [ShZv] G. SHABAT, A. ZVONKIN, Plane trees and algebraic numbers, in Jerusalem Combinatorics 93, H. Barcelo, G. Kalai eds., AMS Contemporary Mathematics series, 178 (1994), 233-275. Zbl0816.05024MR96d:14028
  32. [ShVo] G. SHABAT, V. VOEVODSKII, Drawing curves over number fields, in The Grothendieck FestShrift, Birkhäuser, 3 (1990), 199-227. Zbl0790.14026MR92f:11083
  33. [Shin] A. SHINZEL, On some problems in the arithmetical theory of continued fraction II, Acta Arith., 7 (1962), 287-298. Zbl0112.28001
  34. [TaMo] J. TANNERY, J. MOLK, Eléments de la théorie des fonctions elliptiques, 3, Paris, 1898. Zbl29.0379.11JFM29.0379.11
  35. [Zap] L. ZAPPONI, Dessins d'enfants en genre 1, à paraître. Zbl0912.14022
  36. [Zol] G. ZOLOTAREFF, Sur la méthode d'intégration de M. Tchebicheff, J. Math. Pures et Appl., 2, 19 (1874), 161-188. JFM06.0267.01

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.