Sur certaines équations fonctionnelles arithmétiques

La Bretèche, Régis de, and Tenenbaum, Gérald. "Sur certaines équations fonctionnelles arithmétiques." Annales de l'institut Fourier 50.5 (2000): 1445-1505. <http://eudml.org/doc/75461>.

@article{LaBretèche2000,
abstract = {Soit $p_k$ le $k$-ième nombre premier. Une fonction arithmétique complètement additive est définie sur $\{\Bbb N\}^*$ par la donnée des $f(p_k)$ et la formule $f(n)=\sum _\{k\ge 1\}f(p_k)v_\{p_k\}(n)$$(n\ge 1)$, où $v_\{p\}$ désigne la valuation $p$-adique. Nous étudions une classe $\{\cal E\}$ de fonctions complètement additives caractérisées par une équation fonctionnelle approchée liant $f(p_k)$ à $f(k)$. Le prototype des éléments de $\{\cal E\}$, dont la fonction logarithme est un élément maximal, est la fonction de Gutman–Ivić–Matula, définie par la relation\begin\{\}f(p\_k)=1+f(k)\qquad (k\ge 1). \end\{\}Cette fonction, qui possède une interprétation simple en termes de graphes orientés, trouve son origine dans un problème de modélisation en chimie organique. La loi de répartition empirique de l’ensemble des valeurs d’un élément de $\{\cal E\}$ vérifie structurellement des équations fonctionnelles spécifiques. Nous explicitons celles qui sont relatives aux moments et à la transformée de Fourier-Stieltjes, et nous développons une méthode itérative générale, susceptible d’applications hors de ce contexte, pour approcher les solutions de telles équations. Nous montrons ainsi, par exemple, qu’il existe deux constantes positives $C$ et $D$ telle que $\lbrace f(n)-C\log n\rbrace /\sqrt\{D\log n\}$ possède une loi de répartition limite gaussienne et nous fournissons une évaluation effective de la vitesse de convergence.},
author = {La Bretèche, Régis de, Tenenbaum, Gérald},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {additive arithmetical functions; multiplicative arithmetical functions; Gutman-Ivić-Matula function; distribution of prime numbes; Berry-Esseen inequality; Fourier-Stieltjes transform; characteristic function},
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pages = {1445-1505},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Sur certaines équations fonctionnelles arithmétiques},
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volume = {50},
year = {2000},
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TY - JOUR
AU - La Bretèche, Régis de
AU - Tenenbaum, Gérald
TI - Sur certaines équations fonctionnelles arithmétiques
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 2000
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 50
IS - 5
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EP - 1505
AB - Soit $p_k$ le $k$-ième nombre premier. Une fonction arithmétique complètement additive est définie sur ${\Bbb N}^*$ par la donnée des $f(p_k)$ et la formule $f(n)=\sum _{k\ge 1}f(p_k)v_{p_k}(n)$$(n\ge 1)$, où $v_{p}$ désigne la valuation $p$-adique. Nous étudions une classe ${\cal E}$ de fonctions complètement additives caractérisées par une équation fonctionnelle approchée liant $f(p_k)$ à $f(k)$. Le prototype des éléments de ${\cal E}$, dont la fonction logarithme est un élément maximal, est la fonction de Gutman–Ivić–Matula, définie par la relation\begin{}f(p_k)=1+f(k)\qquad (k\ge 1). \end{}Cette fonction, qui possède une interprétation simple en termes de graphes orientés, trouve son origine dans un problème de modélisation en chimie organique. La loi de répartition empirique de l’ensemble des valeurs d’un élément de ${\cal E}$ vérifie structurellement des équations fonctionnelles spécifiques. Nous explicitons celles qui sont relatives aux moments et à la transformée de Fourier-Stieltjes, et nous développons une méthode itérative générale, susceptible d’applications hors de ce contexte, pour approcher les solutions de telles équations. Nous montrons ainsi, par exemple, qu’il existe deux constantes positives $C$ et $D$ telle que $\lbrace f(n)-C\log n\rbrace /\sqrt{D\log n}$ possède une loi de répartition limite gaussienne et nous fournissons une évaluation effective de la vitesse de convergence.
LA - fre
KW - additive arithmetical functions; multiplicative arithmetical functions; Gutman-Ivić-Matula function; distribution of prime numbes; Berry-Esseen inequality; Fourier-Stieltjes transform; characteristic function
UR - http://eudml.org/doc/75461
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