Sur certaines équations fonctionnelles arithmétiques

Régis de La Bretèche; Gérald Tenenbaum

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Sur le calcul de $π$ au moyen des logarithmes

Is. Chevilliet (1856)

Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale

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Sur les entiers inférieurs à $x$ ayant plus de $log (x)$ diviseurs

Marc Deléglise, Jean-Louis Nicolas (1994)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Let $τ (n)$ be the number of divisors of $n$ ; let us define $S_{λ} (x) = \{\begin{matrix} C a r d \{n \leq x; τ (n) \geq {(log x)}^{λ log 2}\} & if λ \geq 1 \\ C a r d \{n \leq x; τ (n) < {(log x)}^{λ log 2}\} & if λ < 1 \end{matrix}$ It has been shown that, if we set $f (λ, x) = \frac{x}{{(log x)}^{λ log λ - λ + 1} \sqrt{log log x}}$ the quotient $S λ (x) / f (λ, x)$ is bounded for $λ$ fixed. The aim of this paper is to give an explicit value for the inferior and superior limits of this quotient when $λ \geq 2$ . For instance, when $λ = 1 / log 2$ , we prove $lim inf \frac{S_{λ} (x)}{f (λ, x)} = 0.938278681143 \dots$ and $lim inf \frac{S_{λ} (x)}{f (λ, x)} = 1.148126773469 \dots$

Sur les entiers $N$ pour lesquels il y a beaucoup de groupes abéliens d’ordre $N$

Jean-Louis Nicolas (1978)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $a (n)$ le nombre de groupes abéliens d’ordre $n$ . Pour étudier les grandes valeurs prises par $a (n)$ , on définit, comme l’a fait Ramanujan pour le nombre de diviseurs de $n$ , les nombres $a$ -hautement composés et $a$ -hautement composés supérieurs. Pour calculer ces derniers nombres, on détermine les sommets de l’enveloppe inférieure convexe de la fonction $log P (n)$ où $P (n)$ est le nombre de partitions de $n$ . Sous l’hypothèse de Riemann, on donne un développement asymptotique de l’ordre maximum de la fonction...

Répartition en moyenne de certaines fonctions arithmétiques sur l'ensemble des entiers sans grand facteur premier

Mongi Naimi (2003)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soient $λ > 1, 0 < η < \frac{1}{2}$ et $g (n)$ une fonction multiplicative vérifiant $\{\begin{matrix} g (p) = 1 / λ \\ g (n) ≫ n^{- η} \end{matrix}$ . Dans ce travail, on établit une formule asymptotique de la somme $\sum_{n g (n) \leq x; P (n) \leq y} 1$ , valable dans le domaine exp ${(log log c x)}^{\frac{5}{3} + ϵ} \leq y / λ \leq c x$ , et on donne une condition nécessaire et suffisante pour que cette somme soit équivalente à $\sum_{n \leq x; P (n) \leq y} 1 / g (n)$ .

Unimodalité de la distribution du nombre de diviseurs premiers d'un entier

Michel Balazard (1990)

Annales de l'institut Fourier

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Pour $x$ assez grand, le nombre de diviseurs premiers de $n$ , $1 \leq n \leq x$ , a une distribution locale unimodale. Cela confirme une conjecture d’Erdös de 1948.

Note sur l’évaluation approchée du produit $1.2.3 ... x$ .

Liouville, J. (1839)

Journal de Mathématiques Pures et Appliquées

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Sur la fonction $Ω_{E} (n)$

Michel Balazard (1984-1985)

Groupe d'étude en théorie analytique des nombres

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Approximations rationnelles de $π$ et quelques autres nombres

Maurice Mignotte (1974)

Mémoires de la Société Mathématique de France

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