Parois et vortex en micromagnétisme

Tristan Rivière

Journées équations aux dérivées partielles (2002)

  • page 1-15
  • ISSN: 0752-0360

Abstract

top
Nous présenterons l’énergie libre modélisant les états (polarisations) des matériaux ferromagnétiques. Le problème variationnel associé contient de nombreux régimes asymptotiques dans lesquels «on voit» se former des défauts du type vortex, du type paroi (Bloch et Neel Walls) ou du type mixte paroi-vortex (Cross-Tie Walls). Le but de cet exposé est de présenter les travaux qui s’efforcent de donner une justification mathématique à la création de ces singularités. Nous décrirons l’insuffisance des méthodes classiques de l’analyse fonctionnelle linéaire à rendre compte de ces phénomènes de perte de régularité et introduirons une approche mettant en oeuvre des outils de la théorie de la mesure géométrique appliqués à l’analyse des équations aux dérivées partielles. L’analyse des défauts en micromagnétisme a suscité des questions théoriques sur les lois de conservation scalaires non-linéaires. Nous présenterons à cette occasion un résultat récent généralisant le phénomène de régularisation de Lax-Oleinick pour les lois scalaire à non-linéarité strictement convexe ∂ u ∂ t + ∂ f ( u ) ∂ x = 0 ( f " > 0 ), au cas où la distribution entropique de sauts n’est pas forcément de signe uniforme mais est une mesure signée quelconque : pour tout S dans C 2 , ∂ S ( u ) ∂ t + ∂ Φ ( u ) ∂ x est une mesure de Radon ( ( S , Φ ) paire entropie flux : Φ ' = S ' f ' ). Nous démontrons alors que dans ce cas, en dimension 1+1, pour une donnée initiale mesurable et bornée quelconque, les ondes de chocs sont contenues dans une union au plus dénombrable de courbes C 1 .

How to cite

top

Rivière, Tristan. "Parois et vortex en micromagnétisme." Journées équations aux dérivées partielles (2002): 1-15. <http://eudml.org/doc/93425>.

@article{Rivière2002,
abstract = {Nous présenterons l’énergie libre modélisant les états (polarisations) des matériaux ferromagnétiques. Le problème variationnel associé contient de nombreux régimes asymptotiques dans lesquels «on voit» se former des défauts du type vortex, du type paroi (Bloch et Neel Walls) ou du type mixte paroi-vortex (Cross-Tie Walls). Le but de cet exposé est de présenter les travaux qui s’efforcent de donner une justification mathématique à la création de ces singularités. Nous décrirons l’insuffisance des méthodes classiques de l’analyse fonctionnelle linéaire à rendre compte de ces phénomènes de perte de régularité et introduirons une approche mettant en oeuvre des outils de la théorie de la mesure géométrique appliqués à l’analyse des équations aux dérivées partielles. L’analyse des défauts en micromagnétisme a suscité des questions théoriques sur les lois de conservation scalaires non-linéaires. Nous présenterons à cette occasion un résultat récent généralisant le phénomène de régularisation de Lax-Oleinick pour les lois scalaire à non-linéarité strictement convexe $\displaystyle \{\partial u\over \partial t\}+\{\partial f(u)\over \partial x\}=0$ ($f"&gt;0$), au cas où la distribution entropique de sauts n’est pas forcément de signe uniforme mais est une mesure signée quelconque : pour tout $S$ dans $C^2$, $\displaystyle \{\partial S(u)\over \partial t\}+ \{\partial \Phi (u)\over \partial x\}$ est une mesure de Radon ($(S,\Phi )$ paire entropie flux : $\Phi ^\{\prime \}=S^\{\prime \}f^\{\prime \}$). Nous démontrons alors que dans ce cas, en dimension 1+1, pour une donnée initiale mesurable et bornée quelconque, les ondes de chocs sont contenues dans une union au plus dénombrable de courbes $C^1$.},
author = {Rivière, Tristan},
journal = {Journées équations aux dérivées partielles},
language = {fre},
pages = {1-15},
publisher = {Université de Nantes},
title = {Parois et vortex en micromagnétisme},
url = {http://eudml.org/doc/93425},
year = {2002},
}

TY - JOUR
AU - Rivière, Tristan
TI - Parois et vortex en micromagnétisme
JO - Journées équations aux dérivées partielles
PY - 2002
PB - Université de Nantes
SP - 1
EP - 15
AB - Nous présenterons l’énergie libre modélisant les états (polarisations) des matériaux ferromagnétiques. Le problème variationnel associé contient de nombreux régimes asymptotiques dans lesquels «on voit» se former des défauts du type vortex, du type paroi (Bloch et Neel Walls) ou du type mixte paroi-vortex (Cross-Tie Walls). Le but de cet exposé est de présenter les travaux qui s’efforcent de donner une justification mathématique à la création de ces singularités. Nous décrirons l’insuffisance des méthodes classiques de l’analyse fonctionnelle linéaire à rendre compte de ces phénomènes de perte de régularité et introduirons une approche mettant en oeuvre des outils de la théorie de la mesure géométrique appliqués à l’analyse des équations aux dérivées partielles. L’analyse des défauts en micromagnétisme a suscité des questions théoriques sur les lois de conservation scalaires non-linéaires. Nous présenterons à cette occasion un résultat récent généralisant le phénomène de régularisation de Lax-Oleinick pour les lois scalaire à non-linéarité strictement convexe $\displaystyle {\partial u\over \partial t}+{\partial f(u)\over \partial x}=0$ ($f"&gt;0$), au cas où la distribution entropique de sauts n’est pas forcément de signe uniforme mais est une mesure signée quelconque : pour tout $S$ dans $C^2$, $\displaystyle {\partial S(u)\over \partial t}+ {\partial \Phi (u)\over \partial x}$ est une mesure de Radon ($(S,\Phi )$ paire entropie flux : $\Phi ^{\prime }=S^{\prime }f^{\prime }$). Nous démontrons alors que dans ce cas, en dimension 1+1, pour une donnée initiale mesurable et bornée quelconque, les ondes de chocs sont contenues dans une union au plus dénombrable de courbes $C^1$.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/93425
ER -

References

top
  1. [ARS] F. Alouges, T. Rivière and S. Serfaty, "Néel Walls and Cross-tie Walls for micromagnetic materials having a strong planar anisotropy", COCV (2002), Volume à la mémoire de J.L.Lions. Zbl1092.82047
  2. [ADM] L. Ambrosio, C. De Lellis, and C. Mantegazza, "Line energies for gradient vector fields in the plane", Calc. Var. PDE 9 (1999) 4, 327-355. Zbl0960.49013MR1731470
  3. [AFP] L. Ambrosio, N. Fusco, and D. Pallara, "Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems", Oxford University Press, (2000). Zbl0957.49001MR1857292
  4. [AKLR] L. Ambrosio, B. Kirchheim, M. Lecumberry and T. Rivière "Rectifiability of defect measures arising in micromagnetic domains" Volume dedicated to the 80th birthday of O.Ladyzhenskaya, Kluwer Academic (2002). Zbl1055.49008MR1971988
  5. [ALR] L. Ambrosio, M. Lecumberry and T. Rivière, A viscosity property of minimizing micromagnetic configurations, submitted, (2002). Zbl1121.35309MR1959737
  6. [AG1] P. Aviles and Y. Giga, A mathematical problem related to the physical theory of liquid crystals configurations, Proc. Centre Math. Anal. Austral. Nat. Univ., 12, (1987), 1-16. MR924423
  7. [AG2] P. Aviles and Y. Giga, On lower semicontinuity of a defect obtained by a singular limit of the Ginzburg-Landau type energy for gradient fields, Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sec A, 129, (1999), 1-17. Zbl0923.49008MR1669225
  8. [Da] C.M. Dafermos "Generalized characteristics and the structure of solutions of hyperbolic conservation laws" Indiana University Math. J. 26 (1977) 1097-1119. Zbl0377.35051MR457947
  9. [DKMO1] A. DeSimone, R.V. Kohn, S. Müller and F. Otto, A compactness result in the gradient theory of phase transitions, to appear in Proc. Royal Soc. Edinburgh. Zbl0986.49009MR1854999
  10. [DKMO2] A. DeSimone, R.V. Kohn, S. Müller and F. Otto, "Magnetic microstructures, a paradigm of multiscale problems", to appear in Proceedings of ICIAM, (1999). Zbl0991.82038MR1824443
  11. [DKMO3] A DeSimone, R.V. Kohn, S. Müller and F. Otto, "A reduced theory for thin-film micromagnetics" to appear in CPAM (2002). Zbl1027.82042MR1916988
  12. [Di] R.J. DiPerna "The structure of solutions to hyperbolic conservation laws" Non linear analysis and mechanics : Heriot-Watt Symposium, Vol IV Res. Notes in Math. 39 Pitman, Boston (1979) 1-16. Zbl0434.35061MR584395
  13. [DLM] R. DiPerna, P.L. Lions and Y. Meyer " L p regularity of velocity averages" Annales IHP, Analyse non linéaire, 8, (1991), 271-287. Zbl0763.35014MR1127927
  14. [HS] A. Hubert and R. Schäfer "Magnetic domains; the analysis of Magnetic Microstructures" Springer (1998). 
  15. [JP1] P.E. Jabin and B. Perthame, "Compactness in Ginzburg-Landau energy by kinetic averaging" Comm. Pure Appl. Math., 54, (2001), no 9, 1096-1109. Zbl1124.35312MR1835383
  16. [JP2] P.E. Jabin and B. Perthame, "Regularity in kinetic formulations via averaging lemmas" prépublication (2002). Zbl1065.35185MR1932972
  17. [La] P.D. Lax "Hyperbolic systems of conservation laws II" Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957) 537-566. XIV-14 Zbl0081.08803MR93653
  18. [LR1] M. Lecumberry and T. Rivière, "Regularity for micromagnetic configurations having zero jump energy", to appear in Calc. of Var. and P.D.E. (2002). Zbl1021.35023MR1938820
  19. [LR2] M. Lecumberry and T. Rivière, "Rectifiability of Shock waves for some nonlinear hyperbolic conservation laws" prépublication (2002). 
  20. [LPT] P.L. Lions, B. Perthame and E. Tadmor "A kinetic formulation of multidimensional scalar conservation laws and related equations" J. A.M.S., 7 (1994), no7, 169-191. Zbl0820.35094MR1201239
  21. [Ol] O. Oleinik, "The cauchy problem for non-linear equations in a class of discontinuous functions" Dokl. Akad. Nauk SSSR 95 (1954), 451-454. English transl : AMS Trans. Ser.2 42, AMS, Providence, RI, (1964), 7-12. Zbl0154.10801MR164137
  22. [Pe] B. Perthame "Uniqueness and error estimates in first order quasilinear conservation laws via the kinetic entropy defect measure" J. Math. Pures Appl. 77, (1998), 1055-1064. Zbl0919.35088MR1661021
  23. [RS1] T. Rivière and S. Serfaty, "Limiting Domain Wall Energy for a Problem Related to Micromagnetics", Comm. Pure Appl. Math., 54, (2001), 294-338. Zbl1031.35142MR1809740
  24. [RS2] T. Rivière and S. Serfaty, "Compactness, kinetic formulation and entropies for a problem related to micromagnetics", to appear in Comm. P.D.E. (2002). Zbl1094.35125MR1974456
  25. [Ta] L. Tartar "Compensated compactness and applications to partial differential equations" Non linear analysis and mechanics : Heriot-Watt Symposium, Vol IV Res. Notes in Math. 39 Pitman, Boston (1979) Zbl0437.35004MR584398

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.