Étude expérimentale de l’influence d’un échantillonnage irrégulier dans l’estimation du paramètre de Hurst

Sullivan Hidot; Jean-Yves Lafaye

Journal de la société française de statistique (2008)

  • Volume: 149, Issue: 1, page 81-95
  • ISSN: 1962-5197

Abstract

top
In this article, we propose to study an estimator of the Hurst parameter for irregularly sampled fractional brownian trajectories. Trajectories are simulated by means of Cholesky algorithm, and the Hurst parameter is estimated by maximising likelihood. Both techniques are time consuming, but prove to be well suited to this type of data. We present various tables containing the estimates of the self-similarity measure, according to several sampling procedures with several sizes of trajectories. The study of these tables is based on a series of statistical tests (Student, Fisher), making it possible to compare and analyse the differences between the sampling processes on hand. The more erratic the sampling, the greater the discrepancy between the results and those expected for a regular sampling. This discrepancy tends to decrease when the size of the signals increases. Results from random samplings are closer to those from a regular deterministic sampling when the random sampling model is uniform

How to cite

top

Hidot, Sullivan, and Lafaye, Jean-Yves. "Étude expérimentale de l’influence d’un échantillonnage irrégulier dans l’estimation du paramètre de Hurst." Journal de la société française de statistique 149.1 (2008): 81-95. <http://eudml.org/doc/93476>.

@article{Hidot2008,
abstract = {Dans cet article, nous proposons d’étudier un estimateur du paramètre de Hurst pour des trajectoires browniennes fractionnaires échantillonnées irrégulièrement. Les trajectoires sont simulées à partir de l’algorithme de Cholesky et l’estimation du paramètre de Hurst est obtenue par maximum de vraisemblance, ces deux techniques étant coûteuses en temps de calcul mais bien adaptées pour ce type de données. Nous présentons des tableaux contenant l’estimation de l’indice d’autosimilarité en fonction des méthodes d’échantillonnage et des tailles des signaux analysés. L’étude des tableaux est basée sur une série de tests statistiques (Student, Fisher) permettant de comparer les résultats des différentes irrégularités considérées. Plus l’échantillonnage est erratique, plus les résultats différent de ceux attendus pour un échantillonnage régulier et cette différence tend à diminuer avec la taille des signaux. Les résultats obtenus pour un échantillonnage irrégulier sont plus proches du modèle régulier lorsque l’aléatoire est uniforme.},
author = {Hidot, Sullivan, Lafaye, Jean-Yves},
journal = {Journal de la société française de statistique},
keywords = {irregular sampling; fractional brownian motion; Hurst parameter estimation; maximum likelihood estimator},
language = {fre},
number = {1},
pages = {81-95},
publisher = {Société française de statistique},
title = {Étude expérimentale de l’influence d’un échantillonnage irrégulier dans l’estimation du paramètre de Hurst},
url = {http://eudml.org/doc/93476},
volume = {149},
year = {2008},
}

TY - JOUR
AU - Hidot, Sullivan
AU - Lafaye, Jean-Yves
TI - Étude expérimentale de l’influence d’un échantillonnage irrégulier dans l’estimation du paramètre de Hurst
JO - Journal de la société française de statistique
PY - 2008
PB - Société française de statistique
VL - 149
IS - 1
SP - 81
EP - 95
AB - Dans cet article, nous proposons d’étudier un estimateur du paramètre de Hurst pour des trajectoires browniennes fractionnaires échantillonnées irrégulièrement. Les trajectoires sont simulées à partir de l’algorithme de Cholesky et l’estimation du paramètre de Hurst est obtenue par maximum de vraisemblance, ces deux techniques étant coûteuses en temps de calcul mais bien adaptées pour ce type de données. Nous présentons des tableaux contenant l’estimation de l’indice d’autosimilarité en fonction des méthodes d’échantillonnage et des tailles des signaux analysés. L’étude des tableaux est basée sur une série de tests statistiques (Student, Fisher) permettant de comparer les résultats des différentes irrégularités considérées. Plus l’échantillonnage est erratique, plus les résultats différent de ceux attendus pour un échantillonnage régulier et cette différence tend à diminuer avec la taille des signaux. Les résultats obtenus pour un échantillonnage irrégulier sont plus proches du modèle régulier lorsque l’aléatoire est uniforme.
LA - fre
KW - irregular sampling; fractional brownian motion; Hurst parameter estimation; maximum likelihood estimator
UR - http://eudml.org/doc/93476
ER -

References

top
  1. [AS96] P. Abry and F. Sellan. The wavelet-based synthesis for fractional brownian motion. Applied and Computational Harmonic Analysis, 3(4) : 377–383, 1996. Zbl0862.60036MR1420505
  2. [Bar99] J.M. Bardet. Un test d’autosimilarité pour les processus gaussiens à accroissements stationnaires. C.R. Acad. Sci. Paris, Série I Math., (6) : 521–526, 1999. Zbl0934.62081MR1679972
  3. [BD91] P.J. Brockwell and R.A. Davis. Time Series : Theory and Methods. Second edition, Springer, 1991. Zbl0709.62080MR1093459
  4. [Ber94] J. Beran. Statistics for Long-Memory Processes. Chapman and Hall, New York, 1994. Zbl0869.60045MR1304490
  5. [Coe00] J.-F. Coeurjolly. Simulation and identification of the fractional Brownian motion : a bibliographical and comparative study. Journal of Statistical Software, 5 : 1–53, 2000. 
  6. [CS04] A. Carbone, G. Castelli and H.E. Stanley. Time-dependent hurst exponent in financial time series. Physica A 344, pages 267–271, 2004. MR2103587
  7. [Dah89] R. Dahlhaus. Efficient parameter estimation for self-similar processes. The Annals of Statistics, 17(4) : 1749–1766, 1989. Zbl0703.62091MR1026311
  8. [DM03] A. B. Dieker and M. Mandjes. On spectral simulation of fractional brownian motion. Probab. Eng. Inf. Sci., 17(3) : 417–434, 2003. Zbl1336.60076MR1984656
  9. [eGJ96] R. Jennane, R. Harba et G. Jacquet. Estimation de la qualité des méthodes de synthèse du mouvement brownien fractionnaire. Revue Traitement du Signal, 13(4) : 289–302, 1996. Zbl1002.60575
  10. [eGJ01] R. Jennane, R. Harba et G. Jacquet. Méthodes d’analyse du mouvement brownien fractionnaire : théorie et résultats comparatifs. Revue Traitement du Signal, 18(5-6) : 419–436, 2001. Zbl1009.94531
  11. [eGL94] J. Istas et G. Lang. Variations quadratiques et estimation de l’exposant de hölder local d’un processus gaussien. C.R. Acad. Sci. Paris, 319 : 201–206, 1994. Zbl0803.60038MR1288403
  12. [FT86] R. Fox and M.S. Taqqu. Large sample properties of parameter estimates for strongly dependent stationary time series. The Annals of Statistics, 14(2) : 517–532, 1986. Zbl0606.62096MR840512
  13. [GW03] N. Scafetta, L. Griffin and B.J. West. Hölder exponent spectra for human gait. Physica A 328, pages 561–583, 2003. Zbl1038.92005MR2013219
  14. [Her04] E. Herbin. Processus (multi-)fractionnaires à paramètres multidimensionnels et régularité höldérienne. PhD thesis, Paris XI Orsay, 2004. 
  15. [KS86] T. Lundahl, W. Ohley, S. Kay and R. Siffert. Fractional brownian motion : A maximum likelihood estimator and its application to image texture. IEEE Trans. on Medical Imaging, 5 : 152–161, 1986. 
  16. [Lai04] D. Lai. Estimating the hurst effect and its application in monitoring clinical trials. Computational Statistics and Data Analysis, 45 : 549–562, 2004. Zbl05373967MR2050255
  17. [Leh80] E.L. Lehmann. Efficient likelihood estimators. The American Statistician, 34 : 233–235, 1980. MR596243
  18. [Man83] B.B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. Freeman, New York, 1983. Zbl0504.28001MR665254
  19. [MN68] B.B. Mandelbrot and J.W. Van Ness. Fractional brownian motions, fractional noises and applications. SIAM Review, 10(4) : 422–437, 1968. Zbl0179.47801MR242239
  20. [Nor94] I. Norros. A storage model with self-similar input. Queueing Systems, 16 : 387–396, 1994. Zbl0811.68059MR1278465
  21. [Pel98] R.F. Peltier. Processus stochastiques fractals avec applications en finance. PhD thesis, Univ. Paris VI, 1998. 
  22. [PLV94] R.F. Peltier and J. Levy-Vehel. A new method for estimating the parameter of fractional brownian motion. Research report 2396, INRIA Rocquencourt, 1994. 
  23. [R D05] R Development Core Team. R : A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienne, Autriche, 2005. ISBN 3-900051-07-0. 
  24. [Sap90] G. Saporta. Probabilités, analyse des données et statistiques. Editions Technip, Paris, 1990. Zbl0703.62003
  25. [Sca82] J.D. Scargle. Studies in astronomical time series. II. Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data. Astrophysical Journal, 263 : 835–853, 1982. 
  26. [Sel95] F. Sellan. Synthèse de mouvements brownien fractionnaires à l’aide de la transformation par ondelettes. C.R. Acad. Sci. Paris, 321 : 351–358, 1995. Zbl0840.60037MR1346141
  27. [ST94] G. Samorodnitsky and M.S. Taqqu. Stable non-Gaussian random processes : Stochastic models with infinite variance. Chapman and Hall, New York, 1994. Zbl0925.60027MR1280932
  28. [ST00] D. Potts, G. Steidl and M. Tasche. Fast Fourier transforms for nonequispaced data : A tutorial, chapter 12, pages 253–274. Birkhäuser, 2000. MR1865690
  29. [VV00] A. Vidacs and J.T. Virtamo. Parameter estimation of geometrically sampled fractional brownian traffic. INFOCOM, 3, 2000. 
  30. [WC94] A. Wood and G. Chan. Simulation of stationary Gaussian processes in [ 0 , 1 ] d . Journal of computational and graphical statistics, 3(4) : 409–432, 1994. MR1323050
  31. [Yue78] C.K. Yuen. Quadratic Windowing in the Segment Averaging Method for Power Spectrum Computation. Technometrics, 20(2) : 195–200, 1978. Zbl0394.62070

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.