Sur certains ensembles normaux

J.-P. Borel

Journal de théorie des nombres de Bordeaux (1989)

  • Volume: 1, Issue: 1, page 67-79
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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Let Λ be a sequence of real numbers and B ( Λ ) the associated normal set, i.e. the set of all real numbers x such that x Λ is uniformely distributed modulo one. Our main problem is the following : for a given A ⊂ ℝ , does there exist a bounded sequence Λ such that A = B ( Λ ) ? In some particular cases, when A ⊂ ℤ , we give an estimate of the minimal length of a bounded subinterval I of ℝ in which Λ can be taken. We prove that to obtain such an estimate, we have to study the following problem on polynomials : for a given polynomial P with no positive root, find the minimal degree δ Q of those polynomials Q such that the product P . Q has only positive coefficients.

How to cite

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Borel, J.-P.. "Sur certains ensembles normaux." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 1.1 (1989): 67-79. <http://eudml.org/doc/93502>.

@article{Borel1989,
abstract = {$\Lambda $ étant une suite de nombres réels, soit $B (\Lambda )$ l’ensemble normal associé. Pour $A \subset \mathbb \{R\}$, nous étudions la question : existe-t-il une suite $\Lambda $ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A = B(\Lambda )$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$. Dans les cas les plus simples, où $A \subset \mathbb \{Z\}$, ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q \in \mathbb \{R\}[X]$, avec la contrainte «$PQ$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles $A$.},
author = {Borel, J.-P.},
journal = {Journal de théorie des nombres de Bordeaux},
keywords = {ensembles normaux; répartition modulo 1; uniform distribution; distribution measure; normal sets},
language = {fre},
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publisher = {Université Bordeaux I},
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year = {1989},
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TY - JOUR
AU - Borel, J.-P.
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JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
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PB - Université Bordeaux I
VL - 1
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AB - $\Lambda $ étant une suite de nombres réels, soit $B (\Lambda )$ l’ensemble normal associé. Pour $A \subset \mathbb {R}$, nous étudions la question : existe-t-il une suite $\Lambda $ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A = B(\Lambda )$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$. Dans les cas les plus simples, où $A \subset \mathbb {Z}$, ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q \in \mathbb {R}[X]$, avec la contrainte «$PQ$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles $A$.
LA - fre
KW - ensembles normaux; répartition modulo 1; uniform distribution; distribution measure; normal sets
UR - http://eudml.org/doc/93502
ER -

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