Sur certains ensembles normaux

• Volume: 1, Issue: 1, page 67-79
• ISSN: 1246-7405

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Abstract

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Let $\Lambda$ be a sequence of real numbers and $B\left(\Lambda \right)$ the associated normal set, i.e. the set of all real numbers $x$ such that $x\Lambda$ is uniformely distributed modulo one. Our main problem is the following : for a given $A\subset ℝ$, does there exist a bounded sequence $\Lambda$ such that $A=B\left(\Lambda \right)$? In some particular cases, when $A\subset ℤ$, we give an estimate of the minimal length of a bounded subinterval $I$ of $ℝ$ in which $\Lambda$ can be taken. We prove that to obtain such an estimate, we have to study the following problem on polynomials : for a given polynomial $P$ with no positive root, find the minimal degree $\delta Q$ of those polynomials $Q$ such that the product $P.Q$ has only positive coefficients.

How to cite

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Borel, J.-P.. "Sur certains ensembles normaux." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 1.1 (1989): 67-79. <http://eudml.org/doc/93502>.

@article{Borel1989,
abstract = {$\Lambda$ étant une suite de nombres réels, soit $B (\Lambda )$ l’ensemble normal associé. Pour $A \subset \mathbb \{R\}$, nous étudions la question : existe-t-il une suite $\Lambda$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A = B(\Lambda )$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$. Dans les cas les plus simples, où $A \subset \mathbb \{Z\}$, ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q \in \mathbb \{R\}[X]$, avec la contrainte «$PQ$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles $A$.},
author = {Borel, J.-P.},
journal = {Journal de théorie des nombres de Bordeaux},
keywords = {ensembles normaux; répartition modulo 1; uniform distribution; distribution measure; normal sets},
language = {fre},
number = {1},
pages = {67-79},
publisher = {Université Bordeaux I},
title = {Sur certains ensembles normaux},
url = {http://eudml.org/doc/93502},
volume = {1},
year = {1989},
}

TY - JOUR
AU - Borel, J.-P.
TI - Sur certains ensembles normaux
JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY - 1989
PB - Université Bordeaux I
VL - 1
IS - 1
SP - 67
EP - 79
AB - $\Lambda$ étant une suite de nombres réels, soit $B (\Lambda )$ l’ensemble normal associé. Pour $A \subset \mathbb {R}$, nous étudions la question : existe-t-il une suite $\Lambda$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A = B(\Lambda )$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$. Dans les cas les plus simples, où $A \subset \mathbb {Z}$, ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q \in \mathbb {R}[X]$, avec la contrainte «$PQ$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles $A$.
LA - fre
KW - ensembles normaux; répartition modulo 1; uniform distribution; distribution measure; normal sets
UR - http://eudml.org/doc/93502
ER -

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