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We extend the definition of Hochschild and cyclic homologies of a scheme over a commutative ring k to define the Hochschild homologies HH⁎(X/S) and cyclic homologies HC⁎(X/S) of a scheme X with respect to an arbitrary base scheme S. Our main purpose is to study product structures on the Hochschild homology groups HH⁎(X/S). In particular, we show that $HH⁎(X/S)={⨁}_{n\in \mathbb{Z}}HHₙ(X/S)$ carries the structure of a graded algebra.

Dans cet article, nous définissons une catégorie ${\widetilde{Mot}}_{\mathbf{C}}$ des motifs sur une catégorie monoïdale symétrique $(\mathbf{C},\otimes ,1)$ vérifiant certaines hypothèses. Le rôle des espaces sur $(\mathbf{C},\otimes ,1)$ est joué par les monoïdes (non necessairement commutatifs) dans $\mathbf{C}$. Pour définir les morphismes dans ${\widetilde{Mot}}_{\mathbf{C}}$, nous utilisons des classes dans les groupes d’homologie cyclique bivariante. Le but est de montrer que les opérateurs de périodicité de Connes induisent des morphismes $M\otimes {𝕋}^{\otimes 2}⟶M$ dans ${\widetilde{Mot}}_{\mathbf{C}}$, où $𝕋$ est le motif de Tate dans ${\widetilde{Mot}}_{\mathbf{C}}$.