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L’indice d’une algèbre de Lie algébrique complexe est la codimension minimale de ses orbites coadjointes. Si $𝔤$ est semi-simple, son indice, $ind𝔤$, est égal à son rang, $rg𝔤$. Le but de cet article est d’établir une formule générale pour l’indice de $𝔫\left({𝔤}^e\right)$ pour $e$ nilpotent, où $𝔫\left({𝔤}^e\right)$ est le normalisateur dans $𝔤$ du centralisateur ${𝔤}^e$ de $e$. Plus précisément, on obtient le résultat suivant, conjecturé par D. Panyushev : $$ind𝔫\left({𝔤}^e\right)=rg𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right),$$ où $𝔷\left({𝔤}^e\right)$ est le centre de ${𝔤}^e$. Panyushev obtient l’inégalité $ind𝔫\left({𝔤}^e\right)\ge rg𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right)$ dans Panyushev 2003...

We say that a finite dimensional Lie algebra is quasi-reductive if it has a linear form whose stabilizer for the coadjoint representation, modulo the center, is a reductive Lie algebra with a center consisting of semisimple elements. Parabolic subalgebras of a semisimple Lie algebra are not always quasi-reductive (except in types A or C by work of Panyushev). The classification of quasi-reductive parabolic subalgebras in the classical case has been recently achieved in unpublished work of Duflo,...