The index of the normaliser of the centraliser of a nilpotent element in a semisimple Lie algebra

Moreau, Anne. "Indice du normalisateur du centralisateur d’un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple." Bulletin de la Société Mathématique de France 134.1 (2006): 83-117. <http://eudml.org/doc/272303>.

@article{Moreau2006,
abstract = {L’indice d’une algèbre de Lie algébrique complexe est la codimension minimale de ses orbites coadjointes. Si $\mathfrak \{g\}$ est semi-simple, son indice, $\operatorname\{ind\}\mathfrak \{g\}$, est égal à son rang, $\operatorname\{rg\}\mathfrak \{g\}$. Le but de cet article est d’établir une formule générale pour l’indice de $\mathfrak \{n\}(\mathfrak \{g\}^\{e\})$ pour $e$ nilpotent, où $\mathfrak \{n\}(\mathfrak \{g\}^\{e\})$ est le normalisateur dans $\mathfrak \{g\}$ du centralisateur $\mathfrak \{g\}^\{e\}$ de $e$. Plus précisément, on obtient le résultat suivant, conjecturé par D. Panyushev :\[ \operatorname\{ind\}\mathfrak \{n\}(\mathfrak \{g\}^\{e\}) = \operatorname\{rg\}\mathfrak \{g\}-\dim \mathfrak \{z\}(\mathfrak \{g\}^\{e\}), \]où $\mathfrak \{z\}(\mathfrak \{g\}^\{e\})$ est le centre de $\mathfrak \{g\}^\{e\}$. Panyushev obtient l’inégalité $\{\operatorname\{ind\}\mathfrak \{n\}(\mathfrak \{g\}^\{e\}) \ge \operatorname\{rg\}\mathfrak \{g\}-\dim \mathfrak \{z\}(\mathfrak \{g\}^\{e\})\}$ dans Panyushev 2003 et on montre que la maximalité du rang d’une certaine matrice à coefficients dans l’algèbre symétrique $\{\mathcal \{S\}\}(\mathfrak \{g\}^\{e\})$ implique l’autre inégalité. L’article consiste pour une large part en la preuve de la maximalité du rang de cette matrice.},
author = {Moreau, Anne},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {index; representation; Lie algebra; normaliser; centraliser; nilpotent element},
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pages = {83-117},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Indice du normalisateur du centralisateur d’un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple},
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volume = {134},
year = {2006},
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TY - JOUR
AU - Moreau, Anne
TI - Indice du normalisateur du centralisateur d’un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2006
PB - Société mathématique de France
VL - 134
IS - 1
SP - 83
EP - 117
AB - L’indice d’une algèbre de Lie algébrique complexe est la codimension minimale de ses orbites coadjointes. Si $\mathfrak {g}$ est semi-simple, son indice, $\operatorname{ind}\mathfrak {g}$, est égal à son rang, $\operatorname{rg}\mathfrak {g}$. Le but de cet article est d’établir une formule générale pour l’indice de $\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e})$ pour $e$ nilpotent, où $\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e})$ est le normalisateur dans $\mathfrak {g}$ du centralisateur $\mathfrak {g}^{e}$ de $e$. Plus précisément, on obtient le résultat suivant, conjecturé par D. Panyushev :\[ \operatorname{ind}\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e}) = \operatorname{rg}\mathfrak {g}-\dim \mathfrak {z}(\mathfrak {g}^{e}), \]où $\mathfrak {z}(\mathfrak {g}^{e})$ est le centre de $\mathfrak {g}^{e}$. Panyushev obtient l’inégalité ${\operatorname{ind}\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e}) \ge \operatorname{rg}\mathfrak {g}-\dim \mathfrak {z}(\mathfrak {g}^{e})}$ dans Panyushev 2003 et on montre que la maximalité du rang d’une certaine matrice à coefficients dans l’algèbre symétrique ${\mathcal {S}}(\mathfrak {g}^{e})$ implique l’autre inégalité. L’article consiste pour une large part en la preuve de la maximalité du rang de cette matrice.
LA - fre
KW - index; representation; Lie algebra; normaliser; centraliser; nilpotent element
UR - http://eudml.org/doc/272303
ER -