The index of the normaliser of the centraliser of a nilpotent element in a semisimple Lie algebra

Anne Moreau

Bulletin de la Société Mathématique de France (2006)

  • Volume: 134, Issue: 1, page 83-117
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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The index of a complex Lie algebra is the minimal codimension of its coadjoint orbits. Let us suppose 𝔤 semisimple, then its index, ind 𝔤 , is equal to its rank, rk 𝔤 . The goal of this paper is to establish a simple general formula for the index of 𝔫 ( 𝔤 e ) , for e nilpotent, where 𝔫 ( 𝔤 e ) is the normaliser in 𝔤 of the centraliser 𝔤 e of e . More precisely, we have to show the following result, conjectured by D. Panyushev Panyushev (2003): ind 𝔫 ( 𝔤 e ) = rk 𝔤 - dim 𝔷 ( 𝔤 e ) , where 𝔷 ( 𝔤 e ) is the centre of 𝔤 e . Panyushev (2003) obtained the inequality ind 𝔫 ( 𝔤 e ) rg 𝔤 - dim 𝔷 ( 𝔤 e ) and we show that the maximality of the rank of a certain matrix with entries in the symmetric algebra 𝒮 ( 𝔤 e ) implies the other inequality. The main part of this paper consists of the proof of the maximality of the rank of this matrix.

How to cite

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Moreau, Anne. "Indice du normalisateur du centralisateur d’un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple." Bulletin de la Société Mathématique de France 134.1 (2006): 83-117. <http://eudml.org/doc/272303>.

@article{Moreau2006,
abstract = {L’indice d’une algèbre de Lie algébrique complexe est la codimension minimale de ses orbites coadjointes. Si $\mathfrak \{g\}$ est semi-simple, son indice, $\operatorname\{ind\}\mathfrak \{g\}$, est égal à son rang, $\operatorname\{rg\}\mathfrak \{g\}$. Le but de cet article est d’établir une formule générale pour l’indice de $\mathfrak \{n\}(\mathfrak \{g\}^\{e\})$ pour $e$ nilpotent, où $\mathfrak \{n\}(\mathfrak \{g\}^\{e\})$ est le normalisateur dans $\mathfrak \{g\}$ du centralisateur $\mathfrak \{g\}^\{e\}$ de $e$. Plus précisément, on obtient le résultat suivant, conjecturé par D. Panyushev :\[ \operatorname\{ind\}\mathfrak \{n\}(\mathfrak \{g\}^\{e\}) = \operatorname\{rg\}\mathfrak \{g\}-\dim \mathfrak \{z\}(\mathfrak \{g\}^\{e\}), \]où $\mathfrak \{z\}(\mathfrak \{g\}^\{e\})$ est le centre de $\mathfrak \{g\}^\{e\}$. Panyushev obtient l’inégalité $\{\operatorname\{ind\}\mathfrak \{n\}(\mathfrak \{g\}^\{e\}) \ge \operatorname\{rg\}\mathfrak \{g\}-\dim \mathfrak \{z\}(\mathfrak \{g\}^\{e\})\}$ dans Panyushev 2003 et on montre que la maximalité du rang d’une certaine matrice à coefficients dans l’algèbre symétrique $\{\mathcal \{S\}\}(\mathfrak \{g\}^\{e\})$ implique l’autre inégalité. L’article consiste pour une large part en la preuve de la maximalité du rang de cette matrice.},
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TY - JOUR
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JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2006
PB - Société mathématique de France
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AB - L’indice d’une algèbre de Lie algébrique complexe est la codimension minimale de ses orbites coadjointes. Si $\mathfrak {g}$ est semi-simple, son indice, $\operatorname{ind}\mathfrak {g}$, est égal à son rang, $\operatorname{rg}\mathfrak {g}$. Le but de cet article est d’établir une formule générale pour l’indice de $\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e})$ pour $e$ nilpotent, où $\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e})$ est le normalisateur dans $\mathfrak {g}$ du centralisateur $\mathfrak {g}^{e}$ de $e$. Plus précisément, on obtient le résultat suivant, conjecturé par D. Panyushev :\[ \operatorname{ind}\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e}) = \operatorname{rg}\mathfrak {g}-\dim \mathfrak {z}(\mathfrak {g}^{e}), \]où $\mathfrak {z}(\mathfrak {g}^{e})$ est le centre de $\mathfrak {g}^{e}$. Panyushev obtient l’inégalité ${\operatorname{ind}\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e}) \ge \operatorname{rg}\mathfrak {g}-\dim \mathfrak {z}(\mathfrak {g}^{e})}$ dans Panyushev 2003 et on montre que la maximalité du rang d’une certaine matrice à coefficients dans l’algèbre symétrique ${\mathcal {S}}(\mathfrak {g}^{e})$ implique l’autre inégalité. L’article consiste pour une large part en la preuve de la maximalité du rang de cette matrice.
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References

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