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Nous nous intéressons à la question suivante : À quelles conditions un groupe $G$ est-il le groupe de Galois (principalement sur le corps des rationnels) d’un polynôme irréductible dont certaines racines distinctes vérifient une relation linéaire du type $a=b+c+\cdots +t$ ? Nous montrons que la relation $a=b+c$ est possible dès que $G$ contient un sous-groupe d’ordre $6$, nous décrivons les groupes abéliens pour lesquels la relation $a=b+c+d$ est satisfaite et construisons une famille de relations $a=b+c+\cdots +t$ de longueur $1+(m-2)(m-3)/2$ pour le groupe alterné...

L’existence d’un polynôme $f$, irréductible sur un corps $k$ de caractéristique $0$ et dont trois racines vérifient la relation linéaire $x_1=x_2+x_3$, ne dépend que de la paire de groupes finis $(G,H)$ où $G={\mathrm{Gal}}_k\left(f\right)$ et $H\subset G$ est le fixateur d’une racine. Le cas régulier ($H=1$) est désormais assez bien décrit. On démontre dans ce texte que pour de nombreuses paires $(G,H)$ primitives ($H$ sous-groupe maximal de $G$) et en particulier pour toutes celles de degré $\le 50$, la relation $x_1=x_2+x_3$ n’est pas réalisable. En appendice, Joseph Oesterlé démontre...