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L'Autore trova alcune condizioni sufficienti che assicurano ${lim}_{t\to \mathrm{\infty }}x(t)=0$ per le soluzioni oscillatorie dell'equazione $${[r_{n-1}(t){[r_{n-2}(t){[\mathrm{\cdots }{[r_2(t){[r_1(t)h(x^{\prime }(t))]}^{\prime }]}^{\prime }\mathrm{\cdots }]}^{\prime }]}^{\prime }]}^{\prime }+a(t)x(t)f(x(t-g(t)))=b(t).$$ Nel caso $b(t)=0$ l'Autore prova che con le stesse condizioni l'equazione non possiede soluzioni oscillatorie.

Si danno condizioni sufficienti perché tutte le soluzioni di una classe di equazioni differenziali nonlineari siano nonoscillatorie.

Si danno condizioni sulle funzioni p, q, f, g e h sotto le quali tutte le soluzioni continuabili di $$u^{(n)}(t)+q(t)h(u(t),\mathrm{\cdots },u^{(n-1)}(t))+p(t){(u(t))}^{\alpha }g(u^{\prime }(t),\mathrm{\cdots },u^{(n-1)}(t))=0$$, sono oscillatorie su $[0,+\mathrm{\infty })$ quando $\alpha >0$, $\alpha \ne 1$ è il quoziente di due interi dispari e $n$ è un intero pari. Se $n=2$ questi risultati si riducono ai ben noti teoremi sufficienti di Baker, e per: $n=2$, $q(t)=0$, $g(u^{\prime }(t),\mathrm{\cdots },u^{(n-1)}(t))=1$ si riducono anche ai teoremi sufficienti di Atkinson e Belohorec.

L'A. considera l'equazione $${[r(t)x^{(n-m)}]}^{(m)}+a(t)h(x(t))p(x^{\prime }(t))+b(t)f(x[g_1(t)],\mathrm{\cdots },x[g_l(t)])=c(t)$$ e studia il comportamento oscillatorio delle soluzioni limitate.

Si espongono alcuni risultati sulle proprietà oscillatorie delle soluzioni di alcune equazioni non lineari del secondo ordine.

Gli Autori estendono in questa Nota un risultato di W. T. Patula relativo all'equazione differenziale ordinaria, non lineare $$L_{n}x(t)+\sum _{i=1}^m{p}_i(t)x(t)f_i(x(t))=q(t)$$ dove l'operatore $L_j$ è definito della formula ricorrente $$L_{0}x(t)=x(t),L_{j}x(t)=\frac{1}{r_j(t)}\frac{d}{dt}{L}_{j-1}x(t),j=1,\mathrm{\cdots },n,r_n(t)=1.$$

Gli Autori trovano un teorema di confronto tra gli integrali oscillatori di due equazioni funzionali ordinarie.

Gli Autori estendono ad un'equazione differenziale di ordine n con argomenti ritardati alcuni risultati di A. G. Kartsatos e H. Onose.

Gli Autori dànno condizioni sufficienti che assicurano il carattere oscillatorio, o la limitatezza di tutte le soluzioni dell'equazione funzionale differenziale $$L_{n}x(t)+H(t;x[g_1(t)],\mathrm{\cdots },x[g_m(t)])=Q(t).$$

Questa Nota estende precedenti risultati di altri e degli stessi Autori ad alcune classi di disequazioni differenziali.

Si dà una condizione necessaria perché le soluzioni di un'equazione differenziale funzionale non lineare di ordine n, con argomento ritardato, siano nonoscillatorie e limitate.

Si dimostrano tre teoremi sugli integrali di una equazione funzionale, differenziale, non lineare con argomento ritardato.

Per la equazione differenziale nonlineare con argomento ritardato $${(r(t)x^{\prime }(t))}^{(n-1)}+\sum _{i=1}^m{p}_i(t)f_i(x\left[g_i(t)\right])=q(t)$$ si danno condizioni sufficienti per $r,p_i,f_i,g_i$ e $q$ per le quali tutte le soluzioni non sono oscillatorie.

Si dànno condizioni sufficienti perché l’equazione $$L_{n}x(t)+{(-1)}^{n+1}a(t)x(g(t))=0$$ abbia soluzione positiva limitata.

Si studia il comportamento asintotico di un'equazione differenziale ordinaria ad argomenti ritardati.