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It has been previously established that a Cremona transformation of bidegree (2,2) is linearly equivalent to the projectivization of the inverse map of a rank 3 Jordan algebra. We call this result the “”. In this article, we apply it to the study of quadro-quadric Cremona transformations in low-dimensional projective spaces. In particular we describe new very simple families of such birational maps and obtain complete and explicit classifications in dimension 4 and 5.

Soit $r\ge 1$, $n\ge 2$, et $q\ge n-1$ des entiers. On introduit la classe ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ des sous-variétés $X$ de dimension $r+1$ d’un espace projectif, telles que pour $(x_1,...,x_n)\in X^n$ générique, il existe une courbe rationnelle normale de degré $q$, contenue dans $X$ et passant par les points $x_1,...,x_n$ ; $X$ engendre un espace projectif dont la dimension, pour $r$, $n$ et $q$ donnés, est la plus grande possible compte tenu de la première propriété. Sous l’hypothèse $q\ne 2n-3$, on détermine toutes les variétés $X$ appartenant à la classe ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$. On montre en particulier qu’il existe une...

Dans cet article, nous présentons une famille à un paramètre de 5-tissus plans exceptionnels. Dans leur présentation la plus naturelle, les tissus de cette famille sont formés d’un système harmonique de quatre pinceaux de droites parallèles et du feuilletages d’intégrale première, la fonction ${\mathrm{sn}}_{k}x{\mathrm{sn}}_{k}y$, où ${\mathrm{sn}}_k$ est une fonction elliptique de Jacobi.