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Se $f:X\to X$ è un'applicazione continua compatta di uno spazio metrico $(X,d)$ in sè stesso ed $f$ ha la proprietà che se $x,y\in X$, $x\ne y$ implica che , allora $f$ ha un unico punto fisso e inoltre $f$ è una contrazione di Banach rispetto a ad un'opportuna metrizzazione dello spazio $X$.

Si prova che l’operatore di integrazione $Fy(x)={\int }_0^{x}y(t)𝑑t$ definito sullo spazio $C(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ delle funzioni reali continue su $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ è una contrazione rispetto ad una certa famiglia di seminorme che generano la topologia della convergenza uniforme sui compatti. Tuttavia, si prova anche, per contro, che $F$ non è contrattiva rispetto ad alcuna metrica su $C(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ che induca su $C(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ la topologia suddetta.

Si studiano alcune proprietà degli spazi separabili di Hilbert.

Sia X un insieme avente al più la potenza del continuo e sia $f:X\to X$ una trasformazione tale che ogni iterata $f^n(n=1,2,\mathrm{\cdots })$ ha un sol punto fisso. Allora per ogni $c\in (0,1)$ esiste una metrica $\rho$ su $X$ tale che lo spazio metrico $(X,\rho )$ è separabile ed $f$ è una contrazione di costante $c$.

Sia $(X,f)$ una coppia formata da uno spazio di Hausdorff compatto e da una trasformazione continua $f:X\to X$ tale che per qualche $n>1$ l'iterata $f^n$ è idempotente, ossia, $f^{2n}=f^n$. Si mostra che la categoria $C$ di tali coppie può essere immessa naturalmente e fedelmente nel prodotto $C_1\times C_2$ delle due sotto-categorie piene $C_1$ e $C_2$ dove $C_1$ consiste delle coppie nilpotenti ($f^n$ è costante per qualche $n\ge 1$) e $C_2$ degli autoomeomorfismi periodici ($f^n$ è l'identità per qualche $n\ge 1$).

By a dynamical system $(X,T)$ we mean the action of the semigroup $({\mathbb{Z}}^{+},+)$ on a metrizable topological space $X$ induced by a continuous selfmap $T:X\to X$. Let $M\left(X\right)$ denote the set of all compatible metrics on the space $X$. Our main objective is to show that a selfmap $T$ of a compact space $X$ is a Banach contraction relative to some $d_1\in M\left(X\right)$ if and only if there exists some $d_2\in M\left(X\right)$ which, regarded as a $1$-cocycle of the system $(X,T)\times (X,T)$, is a coboundary.

Let $T:X\to X$ be a continuous selfmap of a compact metrizable space $X$. We prove the equivalence of the following two statements: (1) The mapping $T$ is a Banach contraction relative to some compatible metric on $X$. (2) There is a countable point separating family $ℱ\subset 𝒞\left(X\right)$ of non-negative functions $f\in 𝒞\left(X\right)$ such that for every $f\in ℱ$ there is $g\in 𝒞\left(X\right)$ with $f=g-g\circ T$.