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In a complex projective space we consider a non-singular algebraic variety $V_d$ of dimension $d\ge 2$. $|X|$ denotes a complete ample linear system on $V_d$ and $X_{m_1},X_{m_2},\mathrm{\cdots },X_{m_q}$ denote $q\le d\mathrm{—}1$ non-singular hypersurfaces belonging to $q$ positive multiples $|m_{1}X|,\mathrm{\cdots },|m_{q}X|$ of the linear system $|X|$. We suppose every subvariety $V_{d-i}={\displaystyle \bigcap _{j=1}^i}{X}_{m_j}$ $(i=1,2,\mathrm{\cdots },q)$ is non singular and has a regular dimension $d\mathrm{—}i$. In this case the subvariety $V_{d-q}={\displaystyle \bigcap _{j=1}^q}{X}_{m_j}$ is called a quasi-characteristic variety of index $q$ of the system $|X|$. A divisor $A$ of $V_d$ is said to be $q$-times of the first kind mod $|X|$ if...

In the previous same-titled Note I we characterized the divisors of the first kind belonging to a non-singular algebraic variety. In this paper we extend those results to the divisors q-times of the first kind, (q > 1).

Si caratterizzano alcune classi di superfici in relazione all’indice di autointersezione dell'aggiunto ad un divisore molto ampio.

Siano: $S$ una superficie algebrica proiettiva complessa non singolare, $K$ un divisore canonico ed $H$ un divisore molto ampio su $S$. Questo lavoro ha per oggetto lo studio dell'indice di autointersezione ${(K+H)}^2$. Si dimostra, innanzitutto, la disuguaglianza $${(K+H)}^2\ge 0$$, nell'ipotesi che la superficie $S^{\prime }$ ottenuta immergendo $S$ mediante il sistema lineare completo $|H|$ non sia uno scroll. Questa disuguaglianza è connessa con alcuni risultati di Sommese e Van de Ven sulla generazione del fascio ${𝒪}_s(K+H)$. La dimostrazione della (I)...

Siano $X$ una varietà algebrica proiettiva complessa non singolare tridimensionale, $L$ un fibrato lineare ampio su $X$, e $n\ge 2$ un intero. Si prova che, a meno di contrarre un numero finito di $-1$-piani di $X$, il fibrato $K_X\otimes L^n$ è ampio ad eccezione di alcuni casi esplicitamente descritti. Come applicazione si dimostra l'ampiezza del divisore di ramificazione di un qualunque rivestimento di ${𝐏}^3$ o della quadrica liscia di ${𝐏}^4$.

Siano: $S$ una superficie algebrica proiettiva complessa non singolare, $K$ un divisore canonico ed $H$ un divisore molto ampio su $S$. Questo lavoro ha per oggetto lo studio dell'indice di autointersezione ${(K+H)}^2$. Si dimostra, innanzitutto, la disuguaglianza $${(K+H)}^2\ge 0$$, nell'ipotesi che la superficie $S^{\prime }$ ottenuta immergendo $S$ mediante il sistema lineare completo $|H|$ non sia uno scroll. Questa disuguaglianza è connessa con alcuni risultati di Sommese e Van de Ven sulla generazione del fascio ${𝒪}_s(K+H)$. La dimostrazione della (I)...

In the first part of this work (sects. 1-3) we consider an irreducible normal variety $V_3$ of dimension 3 in a complex projective space. Let $p_a(V3)$ and $P_a(V3)$ be the virtual arithmetic genus and the second arithmetic genus of $V_3$ respectively. We prove that the equality $p_a(V3)=V_a(V3)$ holds if and only if $V_3$ is Cohen-Macaulay. As previously remarked in [11], we obtain the relation $P_a(V3)\ge p_a(V3)$ for any normal $V_3$. We also give an example of $V_3$’s on which the inequality $P_a(V_3)>p_a(V_3)$ holds. The problems we treat here are strictly close to some arguments...

Le varietà algebriche proiettive complesse, non singolari, di dimensione $k\ge 3$ (grado $d>3$), a curva sezione ellittica, o sono razionali o sono fasci ellittici di spazi lineari. Le varietà del primo tipo sono state studiate e classificate da Enriques (cfr. [2], [3]) e Scorza (cfr. [8]); alle varietà del secondo tipo è dedicata la presente Nota. Si illustrano alcune proprietà delle varietà fibrate in spazi lineari su di una curva ellittica, e si studiano i loro modelli linearmente normali $W$. Indicati con...

Siano $X$ una varietà algebrica proiettiva complessa non singolare tridimensionale, $L$ un fibrato lineare ampio su $X$, e $n\ge 2$ un intero. Si prova che, a meno di contrarre un numero finito di $-1$-piani di $X$, il fibrato $K_X\otimes L^n$ è ampio ad eccezione di alcuni casi esplicitamente descritti. Come applicazione si dimostra l'ampiezza del divisore di ramificazione di un qualunque rivestimento di ${𝐏}^3$ o della quadrica liscia di ${𝐏}^4$.

Si caratterizzano alcune classi di superfici in relazione all’indice di autointersezione dell'aggiunto ad un divisore molto ampio.

Let $X\subset {𝐏}^r$ be a complex smooth algebraic surface, the general hyperplane section of which is an elliptic curve. A classical Theorem due to G. Castelnuovo ([1]) states that if $X$ is not an elliptic scroll then $X$ is a rational surface. Castelnuovo achieves this result by showing that if $X$ is not a scroll, then a suitable linear system of hypersurfaces in ${𝐏}^r$ exhibits $X$ as a projective model of a surface of degree $d$ in ${𝐏}^d$, which is not a scroll; hence $X$ is rational. In this paper we supply a new proof of the...