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Soit $h$ la hauteur logarithmique absolue de Weil sur ${\overline{\mathbb{Q}}}^{\times }$. En utilisant l’inégalité des pentes de J.-B. Bost, nous donnons dans cet article une preuve du résultat suivant dû à Dobrowolski : il existe une constante $c\>0$ telle que $$\forall x\in {𝔾}_m\left(\overline{\mathbb{Q}}\right)\setminus {\mu }_{\infty }h\left(x\right)\ge \frac{c}{D}{\left(\frac{loglog3D}{log2D}\right)}^3,$$ avec $D=\left[\mathbb{Q}\right(x):\mathbb{Q}]$ et où ${\mu }_{\infty }$ représente le groupe des racines de l’unité.

Nous prouvons un cas particulier de la conjecture suivante e Zilber-Pink, conjecture généralisant celle de Manin-Mumford  : soit $X$ une courbe incluse dans une variété abélienne $A$ sur $\overline{\mathbb{Q}}$, qui n’est pas incluse dans une sous-variété de torsion  ; l’intersection de $X$ avec la réunion de tous les sous-groupes de codimension au moins 2 est finie. Nous démontrons ici le cas où $A$ est une puissance d’une variété abélienne C.M. simple. La preuve reprend la stratégie de Rémond (suivant Bombieri-Masser-Zannier)...