Intersection of curves and subgroups; lower bound problems for the height in CM Abelian varieties

Nicolas Ratazzi[1]

  • [1] Université Paris-Sud 11 Bâtiment 425 Mathématiques 91405 Orsay Cedex (France)

Annales de l’institut Fourier (2008)

  • Volume: 58, Issue: 5, page 1575-1633
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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We prove a special case of the following conjecture of Zilber-Pink generalising the Manin-Mumford conjecture : let X be a curve inside an Abelian variety A over ℚ ¯ , provided X is not contained in a torsion subvariety, the intersection of X with the union of all subgroup schemes of codimension at least 2 is finite; we settle the case where A is a power of a simple CM Abelian variety. The proof is based on the strategy of Rémond (following Bombieri-Masser-Zannier) with two new ingredients, one of them, being at the heart of this article : a lower bound for the Néron-Tate height of points on CM Abelian varieties in the spirit of Lehmer’s problem. This lower bound is an analog of the similar result of Amoroso-David on 𝔾 m n and is a generalisation of the theorem of David-Hindry on the abelian Lehmer’s problem.

How to cite

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Ratazzi, Nicolas. "Intersection de courbes et de sous-groupes et problèmes de minoration de hauteur dans les variétés abéliennes C.M.." Annales de l’institut Fourier 58.5 (2008): 1575-1633. <http://eudml.org/doc/10357>.

@article{Ratazzi2008,
abstract = {Nous prouvons un cas particulier de la conjecture suivante e Zilber-Pink, conjecture généralisant celle de Manin-Mumford  : soit $X$ une courbe incluse dans une variété abélienne $A$ sur $\overline\{\mathbb\{Q\}\}$, qui n’est pas incluse dans une sous-variété de torsion  ; l’intersection de $X$ avec la réunion de tous les sous-groupes de codimension au moins 2 est finie. Nous démontrons ici le cas où $A$ est une puissance d’une variété abélienne C.M. simple. La preuve reprend la stratégie de Rémond (suivant Bombieri-Masser-Zannier) avec deux ingrédients supplémentaires  ; l’un des deux constituant le coeur de cet article  : une minoration de la hauteur de Néron-Tate des points sur les variétés abéliennes C.M., dans l’esprit du problème de Lehmer. Cette minoration est l’analogue du résultat similaire de Amoroso-David pour $\mathbb\{G\}_m^n$, et est une généralisation du théorème de David-Hindry sur le problème de Lehmer abélien.},
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