L’objectif de cet article est de mesurer la complexité arithmétique de la courbe modulaire en fonction du niveau . Pour ce faire, on utilise un morphisme fini (de degré 1 sur son image) de vers une variété fixe et on calcule la hauteur au sens d’Arakelov de l’image de ce morphisme. La hauteur employée est directement reliée à la hauteur de Faltings des courbes elliptiques.
On a besoin pour cela de considérer une théorie d’Arakelov pour les faisceaux inversibles hermitiens -singuliers (au...
On montre dans cet article que le théorème d’équidistribution de Szpiro-Ullmo-Zhang concernant les suites de petits points sur les variétés abéliennes s’étend au cas des suites de sous-variétés. On donne également une version quantitative de ce résultat.
Soit une variété projective sur un corps de nombres (resp. sur ). Soit la somme de « suffisamment de diviseurs positifs » sur . On montre que tout ensemble de points quasi-entiers (resp. toute courbe entière) dans est non Zariski-dense.
On décrit dans cet article une version effective d’un théorème de Rumely : on peut
trouver beaucoup de points entiers sur des ouverts (assez grands) de variétés
arithmétiques, tout en contrôlant la hauteur de ces points. On applique ensuite ce
résultat :- aux modèles de variétés abéliennes;- à la démonstration d’un
analogue arithmétique des théorèmes de Bertini.
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