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Sur un espace localement compact séparé , soit une classe de fonctions réelles satisfaisant aux axiomes de Brelot. On suppose que la fonction constante 1 est surharmonique par rapport à , ce qui implique un principe de maximum pour . On établit d’abord pour l’espace un schéma de classification analogue à la classification usuelle des surfaces de Riemann ouvertes en surfaces paraboliques ou hyperboliques. Soit une autre classe de fonctions réelles vérifiant les mêmes conditions que , et...
Soit une classe harmonique de Brelot, définie sur . Il est donné un critère de régularité en termes de barrières, pour les points d’une frontière idéale. Soit un sous-treillis banachique de . Si est hyperbolique, la frontière idéale compactifiante déterminée par contient une “frontière harmonique” qui satisfait le critère de régularité et . Entre autres applications, on a la théorie des frontières de Wiener et Royden et des comparaisons de classes harmoniques.
Dans l’axiomatique des fonctions harmoniques de Brelot, où l’axiome 3 (de convergence) peut être appelé principe de Harnack, on démontre ici pour les fonctions harmoniques dans un domaine valant 1 en , la propriété d’égale continuité en qui peut se traduire par des “inégalités de Harnack”. Cela avait été établi par Mokobodzki grâce à l’hypothèse d’une base dénombrable d’ouverts, qui est évitée ici en utilisant le théorème d’Éberlein-Smulian.
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