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For $x\in ℂ$, $\left|x\right|\<1$, $s\in \mathbb{N}$, let ${\mathrm{Li}}_s\left(x\right)$ be the $s$-th polylogarithm of $x$. We prove that for any non-zero algebraic number $\alpha$ such that $\left|\alpha \right|\<1$, the $\mathbb{Q}\left(\alpha \right)$-vector space spanned by $1,{\mathrm{Li}}_1\left(\alpha \right),{\mathrm{Li}}_2\left(\alpha \right),\cdots$ has infinite dimension. This result extends a previous one by Rivoal for rational $\alpha$. The main tool is a method introduced by Fischler and Rivoal, which shows the coefficients of the polylogarithms in the relevant series to be the unique solution of a suitable Padé approximation problem.

Dati $m=2$ o $m=3$ numeri algebrici non nulli $\alpha =\left({\alpha }_1,\mathrm{\dots },{\alpha }_m\right)$ tali che ${\alpha }_j/{\alpha }_l$ non è una radice dell'unità per ogni $j\ne l$ , consideriamo una classe di determinanti di Vandermonde generalizzati di ordine quattro $G\left(a;x\right)$, al variare di $x$ in ${\mathbb{Z}}^4$ , connessa con alcuni problemi diofantei. Dimostriamo che il numero delle soluzioni $y\in {\mathbb{Z}}^3$ in posizione generica dell'equazione polinomiale-esponenziale disomogenea $G\left(a;0,y\right)=0$ non supera una costante esplicita $N\left(d\right)$ dipendente solo da $d=\left[\mathbb{Q}\right(\alpha {}_1,\mathrm{\dots },\alpha {}_m):\mathbb{Q}]$.