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We point out the following fact: if Ω ⊂ ${ℝ}^n$ is a bounded open set, δ>0, and p>1, then $li{m}_{\to 0^{+}}in{f}_{\in V}{\int }_{\Omega }{\left|\nabla \left(x\right)\right|}^{p}dx=\infty$, where $V_{=}\in W_0^{1,p}\left(\Omega \right):meas\left(x\in \Omega :\left|\right(x\left)\right|>\delta \right)>.$

The aim of this paper is to give the proofs of those results that in [4] were only announced, and, at the same time, to propose some possible developments, indicating some of the most significant open problems.

We deal with the problem ⎧ -Δu = f(x,u) + λg(x,u), in Ω, ⎨ ($P_{\lambda }$) ⎩ $u_{\mid \partial \Omega }=0$ where Ω ⊂ ℝⁿ is a bounded domain, λ ∈ ℝ, and f,g: Ω×ℝ → ℝ are two Carathéodory functions with f(x,0) = g(x,0) = 0. Under suitable assumptions, we prove that there exists λ* > 0 such that, for each λ ∈ (0,λ*), problem ($P_{\lambda }$) admits a non-zero, non-negative strong solution $u_{\lambda }\in {\bigcap }_{p\ge 2}{W}^{2,p}\left(\Omega \right)$ such that $li{m}_{\lambda \to 0⁺}\left|\right|u_{\lambda }{\left|\right|}_{W^{2,p}\left(\Omega \right)}=0$ for all p ≥ 2. Moreover, the function $\lambda \mapsto I_{\lambda }\left(u_{\lambda }\right)$ is negative and decreasing in ]0,λ*[, where $I_{\lambda }$ is the energy functional related to ($P_{\lambda }$).

We prove the following result: Let X be a real Hilbert space and let J: X → ℝ be a C¹ functional with a nonexpansive derivative. Then, for each r > 0, the following alternative holds: either J’ has a fixed point with norm less than r, or $su{p}_{\left|\right|x\left|\right|=r}J\left(x\right)=su{p}_{{\left|\right|u\left|\right|}_{L²\left(\right[0,1],X)}=r}{\int }_0^{1}J\left(u\left(t\right)\right)dt$.

This Note contains the following remark on a recent result by Boccardo and Buttazzo: under the same assumptions, a stronger conclusion, concerning the solvability of variational inequalities, can be obtained.

In this Note we first establish a result on the structure of the set of fixed points of a multi-valued contraction with convex values. As a consequence of this result, we then obtain the following theorem: Let $(U,\parallel \cdot {\parallel }_U)$, $(V,\parallel \cdot {\parallel }_V)$ be two real Banach spaces and let $\mathrm{\Phi }$ be a continuous linear operator from $U$ onto $V$. Put: $\alpha =sup\{inf\{{\parallel u\parallel }_U:u\in {\mathrm{\Phi }}^{-1}(v)\}:v\in V,{\parallel v\parallel }_V\le 1\}$. Then, for every $v\in V$ and every lipschitzian operator $\mathrm{\Psi }:U\to V$, with Lipschitz constant $L$ such that , the set $\{u\in U:\mathrm{\Phi }(u)+\mathrm{\Psi }(u)=v\}$ is non-empty and arc wise connected.

In questa Nota viene stabilita una caratterizzazione generale della semicontinuità inferiore delle multifunzioni, a grafico convesso, definite in sottoinsieme non vuoto, aperto e convesso di uno spazio vettoriale topologico e a valori in uno spazio vettoriale topologico localmente convesso. Sono poste in luce, poi, varie conseguenze di tale caratterizzazione.

In this Note we first establish a result on the structure of the set of fixed points of a multi-valued contraction with convex values. As a consequence of this result, we then obtain the following theorem: Let $(U,\parallel \cdot {\parallel }_U)$, $(V,\parallel \cdot {\parallel }_V)$ be two real Banach spaces and let $\mathrm{\Phi }$ be a continuous linear operator from $U$ onto $V$. Put: $\alpha =sup\{inf\{{\parallel u\parallel }_U:u\in {\mathrm{\Phi }}^{-1}(v)\}:v\in V,{\parallel v\parallel }_V\le 1\}$. Then, for every $v\in V$ and every lipschitzian operator $\mathrm{\Psi }:U\to V$, with Lipschitz constant $L$ such that , the set $\{u\in U:\mathrm{\Phi }(u)+\mathrm{\Psi }(u)=v\}$ is non-empty and arc wise connected.

In questa Nota viene stabilita una caratterizzazione generale della semicontinuità inferiore delle multifunzioni, a grafico convesso, definite in sottoinsieme non vuoto, aperto e convesso di uno spazio vettoriale topologico e a valori in uno spazio vettoriale topologico localmente convesso. Sono poste in luce, poi, varie conseguenze di tale caratterizzazione.

In questa Nota, dati uno spazio metrico perfetto $X$ ed un suo sottoinsieme $K$ chiuso e raro, si dimostra l'esistenza di una funzione continua $f:X\to [0,1]$ tale che $int(f^{-1}(t))=\mathrm{\varnothing }$ per ogni $t\in [0,1]$, $f(x)=0$ per ogni $x\in K$ e $f(y)=1$ per qualche $y\in X\setminus K$. In particolare, ciò permette di dare risposta simultaneamente a due questioni poste in [2]. Si mettono in evidenza, poi, ulteriori conseguenze di tale risultato.

In questa Nota, dati uno spazio metrico perfetto $X$ ed un suo sottoinsieme $K$ chiuso e raro, si dimostra l'esistenza di una funzione continua $f:X\to [0,1]$ tale che $int(f^{-1}(t))=\mathrm{\varnothing }$ per ogni $t\in [0,1]$, $f(x)=0$ per ogni $x\in K$ e $f(y)=1$ per qualche $y\in X\setminus K$. In particolare, ciò permette di dare risposta simultaneamente a due questioni poste in [2]. Si mettono in evidenza, poi, ulteriori conseguenze di tale risultato.