EUDML

Let $Q = {(Q_{k})}_{k \geq 0}, Q_{0} = 1, Q_{k + 1} = q_{k} Q_{k}, q_{k} \geq 2$ , be a Cantor scale, $𝐙_{Q}$ the compact projective limit group of the groups $𝐙 / Q_{k} 𝐙$ , identified to $\prod_{0 \leq j \leq k - 1} 𝐙 / q_{j} 𝐙$ , and let $μ$ be its normalized Haar measure. To an element $x = {a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots}, 0 \leq a_{k} \leq q_{k + 1} - 1$ , of $𝐙_{Q}$ we associate the sequence of integral valued random variables $x_{k} = \sum_{0 \leq j \leq k} a_{j} Q_{j}$ . The main result of this article is that, given a complex $𝐐$ -multiplicative function $g$ of modulus $1$ , we have $lim_{x_{k} \to x} (\frac{1}{x_{k}} \sum_{n \leq x_{k} - 1} g (n) - \prod_{0 \leq j \leq k} \frac{1}{q_{j}} \sum_{0 \leq a \leq q_{j}} g (a Q_{j})) = 0 μ -a.e .$

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